Wachstum - linear und exponentiell
- Autor:
- eckerts
Situation:
Auf einem kleinen See sind an einem Tag (Tag 0) 2 m2 der Wasserfläche mit einer Schicht aus einzelligen Algen bedeckt. Einen Tag später (Tag 1) sind es bereits 3 m2.
Wie wird sich die Situation weiter entwickeln? Hinz und Kunz äußern sich dazu:
Hinz sagt: Es ist ein Quadratmeter dazugekommen. Wenn das so weiter geht, haben wir in den nächsten tagen 4, 5, 6, usw. Quadratmeter Algen auf dem See.
Kunz sagt: Die neue Fläche ist jetzt eineinhalbmal so groß wie die alte, denn . Wenn das so weiter geht haben wir am nächsten Tag 4,5m2, dann 6,75m2, usw.
Fülle unten rechts die Tabellenspalte B mit den Werten von Hinz (die Nullen, die dort stehen, einfach ersetzen) und die Tabellenspalte C mit den Werten von Kunz. Spalte A zählt die Tage.
Mit den Kontrollkästchen im Koordinatensystem kannst du nun diese beiden Listen als Grafik sichtbar machen.
Auswertung
- Beim exponentiellen Wachstum wird der Graph immer steiler
- Beim linearen Wachstum steigt der Graph gleichmäßig und alle Punkte liegen auf einer Geraden. Diese Gerade könnte man auch durch eine lineare Funktion erzeugen. (Daher der Name lineares Wachstum)
- Beim linearen Wachstum kommt in jedem Zeitschritt gleich viel dazu (hier 1). Diese Zahl heißt Wachstums- oder Änderungsrate. Man kann auch sagen, dass beim linearen Wachstum die absolute Änderung in jedem Zeitschritt gleich ist.
- Beim exponentiellen Wachstum wird in jedem Zeitschritt mit dem selben Faktor multipliziert (hier 1,5). Diesen Faktor nennt man Wachstums- oder Änderungsfaktor. Er gibt die relative Änderung von Schritt zu Schritt an (1,5 = 150% = 50% Zuwachs). D.h. hier ist die relative Änderung in jedem Zeitschritt gleich.
- Schreibweise: Bei Wachstumsvorgängen spricht man oft vom Bestand zu einem bestimmten Zeitpunkt. Der wird dann als geschrieben (Bestand nach n Zeitschritten, lies: "B von n"). In der Liste von Hinz wäre also z. B.
Aufgabe1
Gib B(7) für beide Arten des Wachstums an.
Aufgabe 2
Berechne für Hinz' Liste direkt B(25).
Aufgabe 3
Berechne für Kunz' Liste direkt den Wert B(25). Tipp: Der Startwert 2 muss 25 mal mit der Zahl 1,5 multipliziert werden. Das kann man auch kurz als Potenz schreiben.
Bemerkung: Start bei Tag 0 nicht bei Tag 1
In der Tabelle oben ist dir vielleicht aufgefallen, dass der Starttag die Nummer 0 trägt. Wenn du die Rechnungen der Aufgaben 2 und 3 anschaust, wird klar, warum meist auf diese Weise nummeriert wird:
Wenn man mit der Nummerierung bei Null anfängt, kann man die Zahl n (hier 25) direkt in der Rechnung verwenden. Hätte man mit der 1 begonnen, hätte man in der Rechnung für B(25) die 24 benutzen müssen. Das wäre natürlich unpraktisch.