Probabilidad no coincidencias de los Sombreros de Euler
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Probabilidad de las no coincidencias de los Sombreros de Euler
La ley de los grandes números Los sombreros de Euler
Este problema de las coincidencias de los sombreros de Euler fue estudiado, en un caso particular, por el científico francés Pierre Remond de Montmort en 1708.
Leonhard Euler nació el 15 de abril de 1707 en Basilea, Suiza. Murió el 18 de septiembre de 1783 en San Petersburgo, Rusia. fue un matemático y físico suizo.
Indicador: simular la probabilidad de las no coincidencias en los sombreros de euler utilizando el limite cuando n tiende a infinito con la definición del número e tal como lo demostro Euler, comprobando a medida que n crece se aproxima a los valores de la probabilidad tal como lo explica la ley de los grandes números.
Situación Problema
Cuatro señores, cada uno con su sombrero, van a la ópera y al entrar dejan los sombreros en el guardarropa.
A la salida cada uno toma al azar un sombrero.
¿Cuál es la probabilidad de que ninguno de los señores reciba su sombrero?
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P1: P(n): Nº de permutaciones en las que ninguna ocupa su posición original. Observa la formula en el Applet resuelve para: P(1) P(2) P(3) P(4) P(5) P(6)
P2: Podemos afirmar que la fórmula P(n) es válida para n elementos con n>=1.
P3: Ya teniendo las respuestas de P(1) P(2) P(3) P(4) P(5) P(6). Verifica la formula recursiva utilizada por Euler Para n ≥ 3:
P(n) = (n-1). [P(n – 1) + P(n-2)] para P(3) P(4) P(5) P(6).
P4: En la formula anterior si tienes P(7) y P(8) ¿Puedes hallar P(9)?. Explica la respuesta.
P5: Euler También demostró que (para n ≥ 2) P(n) = n.P(n -1) + (-1)n verifica si esta fórmula se cumple para P(2) P(3) P(4) P(5) P(6).
P6: En la formula anterior si tienes P(9) ¿Puedes hallar P(10)?. Explica la respuesta.
P7: La probabilidad de no coincidencia es: Pn=(P(n))/n! Con ayuda de la tabla en el applet verifica la probabilidad de P1 hasta P10. ¿Qué puedes concluir sobre las probabilidades? A que numero se aproxima la probabilidad a medida que n aumenta.
P8: Ingresa en el campo de entrada n 5 y observa el resultado de f(5): ¿este resultado se aproxima a alguna probabilidad de Pn? Explica.
P9: Ingresa en el campo de entrada n 10 y observa el resultado de f(10): ¿este resultado se aproxima a alguna probabilidad de Pn? Explica.
P10: Ingresa en el campo de entrada n 25 y observa el resultado de f(25): ¿este resultado se aproxima a alguna probabilidad de Pn? Explica.
P10: Ingresa en el campo de entrada n 1000 y observa el resultado de f(1000): ¿este resultado se aproxima a alguna probabilidad de Pn? Explica.
P11: Ingresa en el campo de entrada n 10000 y observa el resultado de f(10000): ¿este resultado se aproxima a alguna probabilidad de Pn? Explica.
P12: Ingresa en el campo de entrada n 100000 y observa el resultado de f(100000): ¿este resultado se aproxima a alguna probabilidad de Pn? Explica.
P13: Ver grafico del applet ¿Qué relación encuentras con los gráficos de barras, la ecuación de la semirrecta y el grafico de la función f(n)? Explica.
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