Les rectes tangents

Tema/es:
Rectes, Tangent

Mou el pùnt lliscant i prova les diferents caselles. Què s'està dibuixant?

El GeoGebra té un procediment molt ràpid per dibuixar rectes tangents. Això fa que es pugui visualitzar fàcilment el concepte de derivada.
  • Entreu l’expressió f(x) = x³ - 3 x² + 2 .
  • Entreu ara f'(x).
  • Ja teniu dibuixades la funció f i la seva derivada. Si voleu, podeu donar diferents colors a les seves gràfiques.
  • Canvieu la funció f(x), des de la finestra algebraica o bé entrant directament una nova fórmula f(x) = ....
  • A continuació, seguint les instruccions següents, podreu dissenyar una activitat per introduir el concepte de derivada en un punt i de funció derivada.
  • Entreu la fórmula de la funció que farem servir per treballar el concepte de funció derivada: f(x) = x³ / 3 - x²  + 4 (És clar que en podeu entrar qualsevol altra!)
  • Per evitar moviments accidentals d’aquesta gràfica, feu-hi clic damunt amb el botó dret del ratolí per accedir a les Propietats. Trieu Bàsic i activeu l’opció Fixa objecte. D’aquesta manera, aquesta gràfica restarà fixa.
  • Amb l’eina Punt nou fixeu un punt A sobre l’eix d’abscisses.
  • Entreu el punt (x(A),f(x(A))) que quedarà situat sobre la gràfica. És el punt B.
  • Entreu la comanda tangent[B,f]. Observeu que s’ha dibuixat, directament, la recta tangent a la gràfica de f(x) que passa per B.
  • Entreu el comandament Pendent[a], on a és el nom de la recta tangent (comproveu que és així obrint la finestra algebraica i després torneu-la a tancar). Observeu que s’ha dibuixat un triangle petit que ens indica el pendent de la recta tangent a la corba en el punt B. Heu de fer que les etiquetes d’aquest objecte siguin visibles amb Nom i Valor.
  • Moveu el punt A i observeu com el pendent va variant.
  • Dibuixeu el segment AB i feu que es vegi amb una línia discontínua.
  • A continuació definireu el punt P a partir de la definició de derivada.
  • Entreu la definició del punt P com P = (x(A), b), on x(A) és la primera coordenada del punt A i b és el pendent de la recta tangent en A. Ja veieu que estem fent servir la definició de derivada en un punt.
  • Cliqueu amb el botó dret del ratolí sobre el punt P i accediu a l’opció Propietats. Ara, podeu canviar el color del punt i, sobretot, heu d’activar l’opció Activa el traç. D’aquesta manera quan el punt B es mourà, deixarà una traçada que serà la funció derivada.
  • Acabeu amb Aplica.
  • Triant l’eina corresponent, desplaceu el punt A i observeu què es va dibuixant. És la funció derivada? Per comprovar-ho:
  • Entreu la comanda g(x) = f’(x).
  • Observeu que s’ha creat a la finestra algebraica la funció g(x) que és la derivada de la funció f(x). També ja es veu la gràfica de g(x), és a dir, de f’(x).
  • Fent clic sobre aquesta gràfica amb el botó dret podeu accedir a Propietats i canviar-ne el color i l’estil.
  • Desplaceu el punt A i observeu com la traçada del punt coincideix amb la gràfica de la funció derivada.
  • Introduïu la Casella de verificació per mostrar o amagar la gràfica de la derivada. Per esborrar el traç podeu prémer Ctrl-F.