Excentricidad en 3D

En esta applet se ilustra el concepto de excentricidad de una cónica. Puedes mover la abertura del cono arrastrando el punto que está en la base del mismo. Puedes mover la inclinación del plano arrastrando el punto E sobre la línea que pasa por el vértice del cono Puedes mover el punto P sobre la cónica. El foco F es el punto donde la esfera inscrita en el cono es tangente al plano de corte que da lugar a la cónica La directriz d es la línea donde el plano que contiene a la circunferencia donde la esfera es tangente a la cónica interseca al plano de corte. El segmento PR mide la distancia del punto P a la directriz d. El segmento PQ es tangente a la esfera y pasa por P. El segmento PH es vertical (y perpendicular al plano que da lugar a la directriz). El ángulo HPQ es constante pues es el ángulo de inclinación de la recta generatriz del cono con la vertical. El ángulo HPR es constante pues es el ángulo de inclinación del plano con respecto a la vertical.
Se trata de mostrar que la razón PF/PR es constante. Esta es la excentricidad de la cónica. - Podemos pensar en un caso extremos: ¿Cómo debería estar el plano para obtener una circunferencia? ¿Cuál sería la directriz de una circunferencia? - Se deja como ejercicio justificar un detalle: ¿por qué PF=PQ? (Sugerencia: considera un caso más sencillo). (Un punto externo a una circunferencia y las dos rectas tangentes a la circunferencia que pasan por ese punto externo). - Otro problema para pensar: ¿Qué pasa si prolongamos el cono y el plano más arriba del vértice del cono? Si el plano está suficientemente inclinado cortará a la prolongación del cono. Se forma otra rama de la curva. ¿Valen los mismos argumentos cuando el punto P está en esa otra rama de la curva?