cuadradito cuadradote

Autor:
mauricioL
"Cuadradito cuadradote". Problema inicial: Dada una circunferencia de centro A y 3cm de radio; dos puntos de ella forman la cuerda BE, que es un lado del cuadrado BEFG. El punto E es móvil en la circunferencia. ¿Cuál es la superficie del cuadrado de área máxima?
Actividad 1: Has comprobado que el cuadradito se hace cuadradote y luego… Ahora respondé: • Si pensamos en dos variables que se relacionan aquí: el área del cuadrado y la longitud de su base, BE ; ¿Cuál es la variable independiente y la dependiente si estamos estudiando el área del cuadrado? • Y si pensamos en la relación entre el área del cuadrado y el arco de circunferencia BE (el tramo de la circunferencia de color rojo). ¿Cuál es la variable independiente y la dependiente si estamos estudiando el área de estos cuadrados? Actividad 2: Ahora trabajaremos con la gráfica cartesiana de la última relación. Para ello activaremos Vista Gráfica en la pestaña vista de GeoGebra para que aparezca la gráfica cartesiana. • Si movemos el punto E de la circunferencia vemos que varía la posición del punto M de la gráfica cartesiana. a) Identificá cada variable con su respectivo eje. b) ¿Qué representa cada punto (par ordenado) de la gráfica? c) Esa relación de dependencia observada, ¿será lineal? si, no, ¿Por qué? d) ¿Siempre crece el área? ¿Hay valores del área que se repiten? ¿Hay valores de arcos de circunferencia que se repiten? (Solo consideramos todos los casos de una vuelta completa del cuadrado en la circunferencia). e) La grafica cartesiana que estamos estudiando es muy especial, es una curva llamada Parábola. En este caso estudiado se ve que la parábola tiene como “una cima”; ¿Qué nos dice esa “cima”? ¿Esa cima será única o hay varios valores de x (valores de arcos) que nos den valores máximos de áreas? • Calcá o dibujá en un papel la gráfica cartesiana que estamos trabajando (los ejes y la parábola). • Calculá las longitudes de las cuerdas cuando el área de los cuadrados es nula (vale o). • Calcula la longitud de la cuerda cuando el área es máxima. • Calculá el área de otros cuadrados que se estén formando en nuestra situación. • Marcá los valores calculados en los ejes según corresponda y los puntos de la parábola que esos valores de ordenadas y abscisas están indicando. • ¿Qué podemos observar? ¿Hay alguna recta paralela algún eje cartesiano que resulte ser “como un espejo” en la parábola? Actividad 3: Trabajamos con la gráfica cartesiana de la relación entre la cuerda (lado del cuadrado) y el área del cuadrado. Para ello activamos en vista, Vista Algebraica para luego que aparezca este “formulerío” hacemos visible la curva lugar2 (de color lila) y el punto Q (de color verde). • Mové el punto E de la cuerda BE y observá que sucede en la nueva gráfica cartesiana. Explicá porqué tiene esa forma. ¿Es una parábola? • ¿Cuáles son los valores que puede tomar la variable independiente? ¿Cuáles son los valores que toma la variable dependiente?