Doppelverhältnis und Wurzel 2
Im vorausgegangenen Abschnitt 4.9 gingen wir von einem 2-dimensionalen Unterraum aus, auf welchem die Form nicht-ausgeartet ist. Untersucht wurden die Beziehungen zwischen nicht-isotropen Vektoren.
In diesem Abschnitt legen wir speziell zwei komplex linear-unabhängige Vektoren zugrunde, für welche , und gilt.
Invariant zugeordnet ist diesen Vektoren eine euklidische Basis in Normalform:
Man kann die komplexe Skalierung so wählen, dass und gilt.
Für die Pole der Vektoren folgt aus , dass gilt; die Pole sind also und sowie und .
Als Doppelverhältnis berechnet man .
Mit Hilfe der Invariante definieren wir die Möbius-W-Bewegung
- .
- Ist , so schneiden sich die beiden Geraden außerhalb der Möbiusquadik. Im obigen euklidischen KOS in Normalform ist das dann der Fall, wenn und damit auch auf der reellen -Achse liegen; ist dann der hyperbolische Abstand von und , die als Punkte der hyperbolischen (Halb-) Ebene aufgefasst werden.
- , so schneiden sich die Geraden im Inneren der Möbiusquadrik, und können als Punkte der elliptischen Ebene gedeutet werden, ist rein imaginär, beschreibt als elliptischen Abstand der beiden Punkte den Winkel zwischen und , vom Ursprung aus gesehen.