Arrels de la unitat imaginària
- Author:
- Miguel Pasies Garcia, user8397, Marta
En aquest applet es podran manejar les arrels d'un nombre complex amb mòdul 1. Quelcom particular ocorre quan B té mòdul 1, ja que totes les seues potències mantenen els seus mòduls iguals a 1.
Però ubicant B en posicions clau, és possible que els segments formen polígons regulars convexos.
Per exemple, amb un argument de 90º, els punts corresponen als vèrtexs d'un quadrat, perquè els seus arguments es van sumant de 90º en 90º.
Amb un argument de 120º, el polígon que es forma és un triangle equilàter.
El que tenen en comú ambdós polígons, és que el primer i n-ésim vèrtexs són sempre els mateixos: el n-ésim és (1,0) i el primer és B. D'esta manera, podem apreciar que hi ha alguns nombre complexos dels quals les seues potències són iguals a la unitat, és a dir, compleixen z^n=1. Aquests números van ser treballats pel matemàtic francés Abraham Moivre. Com s'aprecia en l'animació, els arguments simplement es van sumant.
Comprova el funcionament de l'applet amb els exercicis següents:
1. Si B té argument 72º, la seua quinta potència serà igual a 1. Quina figura geomètrica es formarà?
2. Resol les següents arrels de mòdul 1.
a) Arrel cinquena
b) Arrel dotzena
c) Arrel cúbica
d) Arrel vintena
3. Què succeïx quan fem l'arrel quadrada?