Polígono

En geometría, un polígono es una figura plana compuesta por una secuencia limitada de segmentos rectos consecutivos que cierran una región en el plano. Estos segmentos son llamados lados, y los puntos en que se interceptan se llaman vértices. El interior del polígono es llamado área. El polígono es el caso bidimensional del politopo, figura geométrica general definida para cualquier número de dimensiones. A su vez, un politopo de tres dimensiones se denomina poliedro, y de cuatro dimensiones se denomina polícoro.

Sobre todo en los textos de geometría escolar algunos enfocan como una unión de segmentos de recta:Un polígono P en el plano es un conjunto de n puntos p1, ..., pn llamados vértices y n segmentos de recta llamados lados tales que: Los puntos extremos de los lados son vértices del polígono. Todo vértice del polígono está exactamente en la intersección de dos lados. Dos lados que se interceptan en un vértice v se llaman lados consecutivos. Un polígono P se llama polígono simple si dos lados no consecutivos no se interceptan.

Sin embargo otros conocen como polígono lo que se ha denominado región poligonal. Para lo cual definen polígono convexo diciendo"Llámase polígono convexo a la intersección de un número finito de semiplanos, exigiendo que esta esté limitada, esto es, que esté dentro de un círculo de radio finito, y segundo, sea bidimensional, de modo que contiene un círculo de radio distinto de cero... Luego se define un polígono en general (no necesariamente convexo) como la figura plana H formada por un conjunto finito de polígonos convexos, que satisfacen las dos condiciones siguientes: Dos polígonos convexos cualesquiera de H no tienen puntos comunes, salvo un vértice común o tienen un lado común. La figura H es conexa, es decir, cualesquiera dos puntos de esta pueden unirse por una quebrada no cerrada que se encuentra totalmente en H."

Como ejemplo cabe una corona rectangular, esto es, una región rectangular, de cuyo interior se ha 'retirado' otra región rectangular. Esta figura se puede descomponer en cuatro trapecios. Tiene un hueco y su frontera tiene dos contornos.

La palabra polígono deriva del griego antiguo πολύγωνος (polúgonos), a su vez formado por πολύ (polú) ‘muchos’ y γωνία (gōnía) ‘ángulo’, aunque hoy en día los polígonos son usualmente entendidos por el número de sus lados.La noción geométrica elemental ha sido adaptada de distintas maneras para servir a propósitos específicos. A los matemáticos a menudo les interesan sólo las líneas poligonales cerradas y los polígonos simples (aquellos en los cuales sus lados sólo se intersecan en los vértices), y pueden definir un polígono de acuerdo a ello. Es requisito geométrico que dos lados que se intersecan en un vértice formen un ángulo no llano (distinto a 180°), ya que de otra manera los segmentos se considerarían partes de un lado único; sin embargo, esos vértices podrían permitirse algunas veces. En el ámbito de la computación, la definición de polígono ha sido ligeramente alterada debido a la manera en que las figuras son almacenadas y manipuladas en la computación gráfica para la generación de imágenes.

Se denomina línea poligonal al conjunto de segmentos unidos sucesivamente por sus extremos (el extremo de cada segmento es origen del siguiente), tal que dos segmentos sucesivos no están alineados (en tal caso se considera como un único segmento).Las líneas poligonales pueden ser abiertas o cerradas, un polígono está conformado por una línea poligonal cerrada.

• Lado (L): es cada uno de los segmentos que conforman el polígono.
• Vértice (V): es el punto de intersección (punto de unión) de dos lados consecutivos.
• Diagonal (D): es el segmento que une dos vértices no consecutivos.
• Perímetro (P): es la suma de las longitudes de todos los lados del polígono.
• Semiperímetro (SP): es la mitad del perímetro.
• Ángulo interior (AI): es el ángulo formado, internamente al polígono, por dos lados consecutivos.
• Ángulo exterior (AE): es el ángulo formado, externamente al polígono, por un lado y la prolongación de un lado consecutivo.
• Interior de un polígono es el conjunto de todos los puntos que están en el interior de la región que delimita dicho polígono. El interior es un abierto del plano.
• Exterior de un polígono es el conjunto de los puntos que no están en la poligonal (frontera) ni en el interior. El exterior es un abierto del plano.
• Si el complemento (exterior) de una región poligonal es inconexo, este constará de varios fragmentos conexos llamados componentes. Uno y solo uno de los componente es ilimitado; todos los demás son limitados, a estos últimos se llaman huecos. Cada hueco con su frontera es un polígono.

• Centro (C): es el punto equidistante de todos los vértices y lados.
• Ángulo central (AC): es el ángulo formado por dos segmentos de recta que parten del centro a los extremos de un lado.
• Apotema (a): es el segmento que une el centro del polígono con el centro de un lado; es perpendicular a dicho lado.
• Diagonales totales , en un polígono de  lados.
• Intersecciones de diagonales , en un polígono de  vértices.
• Todo polígono regular de n lados, puede ser descompuesto en un conjunto ordenado de n-2 triángulos, con un vértice común y la suma de las áreas de los triángulos sea igual al área del polígono.

Existen varias clasificaciones posibles de los polígonos. Para ver una clasificación basada en su número de lados, vea la tabla inferior.Clasificación de los polígonos según su contorno: Algunos ejemplos de varios tipos de polígono. Clasificación de los polígonos según la forma de su contorno.Según las propiedades que cumpla el contorno del polígono, es posible realizar las siguientes clasificaciones.

• Simple, si ningún par de aristas no consecutivas se corta. Equivalentemente, su frontera tiene un solo contorno.
• Complejo o Cruzado , si dos de sus aristas no consecutivas se intersecan.
• Convexo, si todo segmento que une dos puntos cualesquiera del contorno del polígono yace en el interior de este. Todo polígono simple y con todos sus ángulos internos menores que 180º es convexo.
• No convexo, si existe un segmento entre dos puntos de la frontera del polígono que sale al exterior del mismo. O si existe una recta capaz de cortar el polígono en más de dos puntos.
• Cóncavo, si es un polígono simple y no convexo.
• Equilátero, si tiene todos sus lados de la misma longitud.
• Equiángulo, si tiene todos sus ángulos interiores iguales.
• Regular, si es equilátero y equiángulo a la vez.
• Irregular, si no es regular. Es decir, si no es equilátero o equiángulo.
• Cíclico, si existe una circunferencia que pasa por todos los vértices del polígono. Todos los polígonos regulares son cíclicos.
• Ortogonal o Isotético, si todos sus lados son paralelos a los ejes cartesianos  o .
• Alabeado, si sus lados no están en el mismo plano.
• Estrellado, si se construye a partir de trazar diagonales en polígonos regulares. Se obtienen diferentes construcciones dependiendo de la unión de los vértices: de dos en dos, de tres en tres, etc.
• Reticular es simple y, al representarlo en un reticulado, cada vértice yace exactamente en un vértice de cuadrado unitario del reticulado (en este caso funciona la fórmula de Pick).

• Polígono simple, cóncavo e irregular.
 
• Polígono complejo, cóncavo e irregular.
 
• Polígono convexo y regular (equilátero y equiángulo).
 
• Polígono estrellado.