Trigonometria no geogebra(aula 1)
- Autor:
- Simone Rocha
Trigonometria
A aula irá desenvolver-se com o auxílio do software Geogebra para construção e interpretação do círculo trigonométrico. Primeiramente irá ser realizada uma revisão para que o aluno possa identificar algumas noções básicas de arcos e ângulos, juntamente com alguns conceitos que serão utilizados. Nessa representação busca-se evidenciar a relação entre o círculo trigonométrico e a representação gráfica deste. Para isso iremos iniciar com algumas considerações sobre o assunto.
Explorando Arcos e Ângulos
Vamos recordar alguns conceitos já conhecidos da Geometria Plana: Arco Geométrico: é uma das partes da circunferência delimitada por dois pontos, inclusive, se os dois pontos coincidirem teremos arco nulo ou arco de uma volta. Arco e Ângulo Central: todo arco de uma circunferência tem um ângulo central que subtende.Comprimento da circunferência de raio r: C = 2 π r
Comprimento da medida de arco: a medida de um arco é a medida do ângulo central que o subtende, independente do raio da circunferência que contém o arco. Usa-se geralmente unidades como o grau e o radiano para medir arcos. O comprimento de arco é a medida linear do arco, sendo usadas unidades como metro, centímetro, etc.Unidades para medir arcos de circunferência:
Grau: quando dividimos a circunferência em 360 partes congruentes, cada uma dessas partes é um arco de um grau. Radiano: um arco de um radiano é um arco cujo comprimento retificado é igual ao raio da circunferência.Seno e Cosseno de um número real
Consideremos P(x,y) um ponto da circunferência trigonométrica, ponto final do arco de medida α rad, definido a partir do número real α. Nesta condições definimos senα= ordenada de P cosα= abscissa de P Observe que esta definição coincide com a dada para ângulos agudos, pois, como todos os pontos da circunferência trigonométrica estão à distância 1 da origem, pela relação de pitágoras temos:sen²α+ cos²α =1
Assim essa definição estendida agora para qualquer número real mantém as relações fundamentais. Dessa forma, ao associarmos um número real α a um arco da circunferência, estamos associando um número real ao ponto P cuja abscissa é o cosseno de α e cuja ordenada é o seno de α . Assistiremos agora um vídeo com a construção do círculo trigonométrico e, iremos seguir os passos para sua construção. Logo após discutiremos o exercício desenrolando o seno.Construção do circunferência trigonométrica
1. Vamos construir inicialmente um circulo com centro em (0,0) e raio 1; digitando na caixa de entrada Circulo[(0,0),1] 2.Agora construiremos dois segmentos que representarão o eixo vertical e o eixo horizontal ; digitando na caixa de entrada Segmento[(-2,0), (2, 0)] e Segmento[(0,-2), (0, 2)] 3. Construímos em seguida o ponto de O também na caixa de entrada de coordenadas (0,0) 4. Utilizando a ferramenta ponto em objeto, obteremos o ponto A clicando em cima da circunferência e na caixa de entrada criaremos o ponto B de coordenadas (1,0) 5.Clicando na ferramenta semi reta, vamos construir uma semi reta com origem em O passando por A (notamos que o ponto a desloca-se através da circunferência e com isso movimenta também a semi reta) 6. Vamos construir um arco com centro em O e extremos em A e B , na caixa de entrada digitamos ArcoCircular[O,B, A]; na janela de álgebra daremos dois cliques no arco e clicamos em propriedades e modificamos a cor para rosa e a espessura para 5 7. Construiremos na caixa de entrada dois pontos C e D que terão relação com o ponto A , digitamos C=(x(A), 0) e D=(0,y(A)); clico no ponto C e com a tecla shift seleciono D vou para propriedades e modifico a cor dos pontos para vermelho. 8. Vamos construir dois segmentos DA e AC clicando na ferramenta segmento, formato ambos os seguimentos em propriedade retiro os rótulos e pontilhado 9.Vamos construir dois segmentos CO e OD clicando na ferramenta segmento, formato ambos os seguimentos em propriedade retiro os rótulos e modifico a cor para azul e verde 10. Marcamos o angulo BOA, digitando na caixa de entrada Ângulo[B,O, A] , retiramos seus rótulos e trocamos a cor para lilás 11. Criamos a janela de visualização 2(exibir janela de visualização2); 11. Animamos o ponto A que irá se deslocar sobre o círculo trigonométrico. 12. Vamos criar uma janela de visualização 2(clicando em exibir janelade visualização 2(clicando com o botão direito em cima do eixo x vamos fixar a distância π/2, e no eixo y vamos apenas fixar a distância em 1) 13. Com a janela de visualização 2 ativa digitamos na caixa de entrada um ponto E=(e, 0) que faz referencia a objetos da janela de visualização 1, onde o e é o comprimento do arco, o que nos permitirá tirar o comprimento da circunferência. 14.Vamos construir um segmento que vai do ponto (0,0) ao ponto E ainda na janela de visualização dois, na caixa de entrada digitamos Segmento[(0,0), Ponto[Círculo[(0, 0), e]]] com isso na janela de visualização dois poderemos mostrar o comprimento da circunferência sendo desenrolado no eixo x. A seguir podemos verificar a construção no próprio programa
Discutiremos a construção do círculo trigonométrico e as relações que podem ser estabelecidas entre as funções seno e cosseno, chamaremos a atenção para o domínio e imagem dessas funções bem como o período. Essa discussão trará subsídios para o estudo aprofundado destas funções. Logo em seguida partiremos para a construção da atividade desenrolando o Seno, para que possamos discutir algumas questões sobre a mesma, na aula seguinte iremos aprofundar o estudo sobre a função cosseno.