แนวคิดของฟังก์ชัน (Concept of function)
1.1. บทนำ
ฟังก์ชันเป็นเนื้อหาที่มีความสำคัญในการแก้โจทย์ปัญหาเกี่ยวกับตัวแปร และมีประโยชน์อย่างยิ่งในวิชาแคลคูลัส พีชคณิต และในคณิตศาสตร์ชั้นสูง
ในบทนี้จะกล่าวถึงความสัมพันธ์ระหว่างเซตสองเซต ซึ่งความสัมพันธ์ที่ถูกสร้างขึ้นนั้นมีคุณลักษณะที่เรียกว่าเป็น "ฟังก์ชัน" และจะนำความรู้เรื่องฟังก์ชัน มาใช้ในการแก้ปัญหา เราจะมาศึกษากันในบทนี้
1.2 ผลคูณคาร์ทีเซียน (Cartesian product)
ให้ และ เป็นเซตใด ๆ ซึ่ง
ผลคูณคาร์ทีเซียนของ และ เขียนแทนด้วย โดยที่
ตัวอย่างที่ 1.2.1
1.3 ความสัมพันธ์ (Relation)
ให้ เป็นผลคูณคาร์ทีเซียนของ และ
ความสัมพันธ์ของ และ เขียนแทนด้วย โดยที่
จากตัวอย่างที่ 1.2.1 ให้ , , และ ได้ว่า และ ต่างก็เป็น ความสัมพันธ์ของ และ
ถ้า เป็นความสัมพันธ์ของ และ โดเมน (Domain) ของความสัมพันธ์ เขียนแทนด้วย คือ เซตของสมาชิกตัวหน้าของคู่อันดับใน และ เรนจ์ของความสัมพันธ์ เขียนแทนด้วย คือ เซตของสมาชิกตัวหลังของคู่อันดับใน พิจารณา ได้ว่า และ
ถ้า เป็นความสัมพันธ์ของ และ ความสัมพันธ์ผกผัน (Inverse) ของ เขียนแทนด้วย
โดยที่ กล่าวได้ว่า เป็นความสัมพันธ์ซึ่งเกิดจากการสลับของสมาชิกตัวหน้า และสมาชิกตัวหลังในแต่ละคู่อันดับที่เป็นสมาชิกของ
1.4 ฟังก์ชัน (Function)
ฟังก์ชัน คือความสัมพันธ์ซึ่งสำหรับสองคู่อันดับใด ๆ ของความสัมพันธ์นั้น ถ้ามีสมาชิกตัวหน้าเหมือนกันแลัวสมาชิกตัวหลังต้องไม่ต่างกัน นั่นคือ
ให้ เป็นความสัมพันธ์ของ และ ฟังก์ชันของ และ เขียนแทนด้วย
โดยที่ และ สำหรับ และ ใด ๆ ถ้า แล้ว
สำหรับ เขียนแทนด้วย เรียก ว่า ค่าของฟังก์ชัน ที่ อ่านว่า "เอฟที่เอกซ์" มีโดเมน และเรนจ์ เป็นเซตย่อย (subset) ของจำนวนจริง R หากไม่ได้กำหนดเป็นอย่างอื่น
เป็นฟังก์ชันจาก ไปยัง ก็ต่อเมื่อ และ
ถ้า จะเรียก ว่าเป็น ฟังก์ชันจาก ไปทั่วถึง (function from onto )
เขียนแทนด้วย
สำหรับ ที่ และ ถ้า แล้ว เรียก ว่า ฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง (one-to-one function) จาก ไปยัง เขียน แทนด้วย