Ellipse d'Euler et centre du cercle d'Euler

Soit ABC un triangle acutangle, ni rectangle, ni équilatéral.[br]Considérons la conique de foyer H et de cercle directeur le cercle circonscrit au triangle ABC, de centre O. Puisque les hauteurs (AH), (BH) et (CH) coupent ce cercle en des points [math]f_A[/math][sub][/sub], [math]f_B[/math][sub][/sub] et [math]f_C[/math][br]symétriques de H respectivement par rapport aux côtés (BC), (AC) et (AB), ces trois points permettent de construire les points de la conique en lesquels les côtés du triangle seront tangents à la conique.[br][br]On construit ainsi E[sub]1[/sub] intersection de ([math]Of_A[/math]) et (BC), de même E[sub]2[/sub] puis E[sub]3[/sub]. Puisque Ω, le centre du cercle d'Euler, est le milieu entre les deux foyers O et H, c'est le centre de la conique, on peut donc construire trois autres points de la conique[sub][/sub], symétriques de E[sub]1[/sub], E[sub]2[/sub] et E[sub]3[/sub] par rapport à Ω, et ainsi construire la conique.[br]Il est aussi possible de construire des symétriques par rapport à l'axe (OH).[br][br]Elle est donc tritangente en E[sub]1[/sub], E[sub]2[/sub] et E[sub]3[/sub] aux côtés du triangle. Elle a pour cercle principal, l'homothétique du cercle circonscrit par l'homothétie de centre H et de rapport , soit, le cercle d'Euler.[br][br][i]Remarque[/i] : avec GeoGebra, la construction d'une conique à centre est faite en désignant les deux foyers et le point E[sub]1[/sub]. Il est aussi possible d'utiliser des cinq points E[sub]1[/sub], E[sub]2[/sub], E[sub]3[/sub] et deux symétriques[sub][/sub].
Centre du cercle d'Euler
Le centre Ω, du cercle d'Euler, est le milieu entre les deux foyers O et H.[br][br]Détermination géométrique du centre du cercle d'Euler[br]On rappelle que [math]E_1[/math], [math]E_2[/math] et [math]E_3[/math] les points où ([math]Of_A[/math]), ([math]Of_B[/math]) et ([math]Of_C[/math]) coupent les côtés (BC), (CA), (AB) (ce sont les points de contact des côtés de ABC avec la « conique d'Euler »), [br]puis R, S, T les milieux de ([math]E_2E_3[/math]), ([math]E_3E_1[/math]), ([math]E_1E_2[/math]).[br]Alors les droites (AR), (BS), (CT) concourent en Ω.[br][br][i]Encyclopédie des points du triangle[/i][br]Avec GeoGebra, le point X(5), centre du cercle d'Euler.du triangle ABC, s'affiche avec l'instruction : TriangleCentre[A,B,C,5][br][br][url=https://tube.geogebra.org/m/nVeGPTjp]Cercle d'Euler[/url][br]Descartes et les Mathématiques - [url=http://www.debart.fr/geogebra/ellipse_euler_classique.html]Ellipse d'Euler[/url]

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