Kosoúhlé promítání
Pohlkeova věta:
Tři úsečky v rovině se společným koncovým bodem, které neleží na jedné přímce, můžeme považovat za rovnoběžný průmět tří navzájem kolmých a shodných úseček v prostoru, které mají společný koncový bod.
Zobrazení krychle v obecném rovnoběžném promítání určeném průmětem tří hran krychle vycházejících z jednoho vrcholu.
Obecná axonometrie (kosoúhlé promítání) je dána průmětem tří hran krychle. Ve speciálním případě zadáme:
a) Volné rovnoběžné promítání
b) Pravoúhlou axonometrii
c) Izometrii
d) Vojenskou perspektivu
Kosoúhlé promítání a pravoúhlá axonometrie
Všimněte si, jak se na předcházejícím appletu zobrazila kružnice vepsaná do čtvercové stěny. Je to elipsa, pro niž známe nejenom čtyři body dotyku, ale i tečny v těchto bodech. Dotykové body určují dva k sobě kolmé průměry, které se v projekci zobrazí jako sdružené průměry elipsy. Zopakujme tuto konstrukci v půdorysně - souřadnicové rovině (xy).
Úloha: Kosoúhlé promítání je dáno nákresnou (xz) a kosoúhlým průmětem OY úsečky na souřadnicové ose y. Zobrazme kružnici se středemm v počátku O a poloměrem OX.
Poznámka: Pohyblivým bodem Y můžete měnit zadání kosoúhlého promítání. Pokud jej posunete do polohy YVRP, je zadána volná rovnoběžná projekce, která je speciálním případem kosoúhlého promítání.
- Vektor u = [Y]Y je kosoúhlý paprsek promítání. Kružnice je dána středem a body XY na kolmých průměrech. Pro porovnání zobrazení kružnice v izometrii a kosoúhlém promítání je na pozadí nakreslená součástka v izometrii. Doporučujeme ji prozatím schovat odškrtnutím políčka "Izometrie".
- Posunem průmětu Y do polohy YVRP je naše promítání volnou rovnoběžnou projekcí.
- Sdružené průměty elipsy jsou průměty kolmých průměrů kružnice. Na našem obrázku jsou to průměry XX2 a YY2 na souřadnicových osách x, y. Sdruženými průměry je elipsa jednoznačně určená, můžeme doplnit tečny, které jsou rovnoběžné vždy s druhým průměrem. Např. tečna v bodě Y je rovnoběžná s průměrem XX2.
- Rytzovou konstrukcí jsme sestrojili osy elipsy. Porovnáním průmětu kružnice s obrázkem vidíte rozdíl v poloze hlavní osy. Vyzkoušejte různé typy projekcí změnou bodu Y. Kdy je obrázek nejnázornější?
Dimetrie a Izometrie
Ve skutečnosti je náš obrázek nakreslen v dimetrii. Izometrie je speciální typ pravoúhlé axonometrie, ve které svírají všechny tři souřadnicové osy s průmětnou stejný úhel, tedy průměty os vzájemně svírají úhel 120°. Průmět osy z nakreslíme ve vertikální poloze a odchylky zbývajících os s vertikální osou z musí být 60°. Zkrácení ve směru všech os je stejné: . V dimetrii svírají osy x a y s průmětnou stejný úhel, tedy jsou stejně zkráceny, ale je to úhel jiný, než úhel mezi osou z a průmětnou. Proto jsou průměty os x, y osově souměrné podle průmětu osy z.
Úloha: V dimetrii zadané průměty oz,oy sestrojte průmět kružnice v souřadnicové rovině (xy). Kružnice má střed v počátku a poloměr r = OA.
Řešení
- Hlavní osa elipsy se zobrazí na přímce rovnoběžné s průmětnou, tedy na kolmici k oz. Ve všech ostatních směrech se totiž délky zkracují a tato jediná zůstává nezmenšená, ve skutečné velikosti. Nejdelší průměr elipsy je hlavní osa OA.
- Elipsa je dána středem a hlavním vrcholem OA. Dimetrie je dána vertikálním průmětem osy z a průmětem OY osy y.
- Průmět osy x je osově souměrný s OY podle vertikální osy z.
- Speciálním případem dimetrie je izometrie, pokud pokud je odchylka yz = 60°.
- Vedlejší vrcholy elipsy sestrojíme využitím vlastnosti Thaletovy kružnice nad průměrem AB. Rovnoběžky s osami x,y jsou kolmé, tedy se protínají na kružnici nad průměrem AB a díky symetrii je tímto bodem přímo vedlejší vrchol.