Tilavuus
- Author:
- P Porras
Epäsäännöllisen muotoisten alueiden pinta-alojen laskeminen perustuu alueen jakamiseen pienempiin osiin, jolloin pinta-alaa voidaan approksimoida esimerkiksi suorakulmioiden pinta-alojen avulla. Tällöin tuloksena on Riemannin summat:
Samaa ideaa voidaan käyttää myös tilavuuksien laskemiseen. Viipaloimalla kolmiulotteinen kappale äärimmäisen ohuiksi kappaleiksi, saadaan tilavuutta approksimoitua näiden viipaleiden pinta-alojen avulla eli:
missä on viipaleen paksuus.
Esimerkki 1. Kolmiulotteisen kappaleen muoto saadaan yhtälöstä ja kaikki x-akselia kohtisuorassa olevat poikkileikkaukset ovat neliöitä. Määritä kappaleen tilavuus välillä [0, 2].
Jokaisen neliön sivun pituus on 2y, jolloin neliöiden pinta-alat ovat muuttujan x funktiona ovat
.
Tällöin tilavuus on
.
Pyörähdyskappaleet
Jos funktio pyörähtää x-akselin ympäri, niin poikkileikkaus on ympyrä. Jokaisen ympyrän säde on sama kuin funktion arvo ko. pisteessä. Tällöinkin tilavuus saadaan pinta-alan avulla:
.
Esimerkki 2. Käyrä pyörähtää x-akselin ympäri. Mikä on pyörähdyskappaleen tilavuus?
Esimerkki 3. Käyrä pyörähtää y-akselin ympäri. Mikä on pyörähdyskappaleen tilavuus?
Kuten kuvasta nähdään, niin poikkileikkausympyrän säde on sama kuin muuttujan x arvo. Tilavuus muodostuu mentäessä y-akselia ylöspäin eli integraalin rajat määräytyvät y-arvojen mukaan. Koska muuttujan x arvot vaihtelevat välillä [0, 3], niin muuttujan y arvot vaihtelevat välillä [0, 27]. Tällöin,
Esimerkki 4.
Ympyrä voidaan kaksiuloitteisessa koordinaatistossa ilmoittaa yhtälöllä Pallon tilavuus saadaan laskemalla näitä kaksiulotteisia ympyröitä yhteen. Tällöin