Material extra: CICLO TRIGONOMÉTRICO
- Autor:
- Azuaite Schneider, Paulo Tomson
CICLO TRIGONOMÉTRICO
Objetivo da aula:
Conhecer o ambiente do ciclo trigonométrico e noções de trigonometria, as dimensões do seno, co-seno e tangente e suas posições gráficas na circunferência através do programa Geogebra, compreender as divisões do círculo em graus, radianos e quadrantes e relacionar os valores decimais aproximados aos números irracionais da tabela trigonométrica.
A aula destina-se aos alunos do ensino médio, e consiste em se ler o texto que auxilia na exploração da ferramenta interativa, após ler e observar como se relacionam estas grandezas o aluno deve responder o questionário apenas manipulando as ferramentas do Geogebra.
CICLO TRIGONOMÉTRICO
O ciclo trigonométrico é uma circunferência construída em um sistema de coordenadas cartesianas, o valor do raio desta circunferência sempre será 1. O centro da circunferência coincide com a origem do sistema cartesiano. Desta forma, os eixos de Y e X acabam dividindo o círculo em quatro partes iguais, que chamamos de quadrantes, a contagem dos quadrantes é feita no sentido anti-horário a partir do ponto A.
Esta circunferência pode ser dividida em graus, o que daria 360° numa volta completa, ou em radianos uma volta completa daria 2 π rad . Para entender a medida em radiano é só lembrar-se da fórmula do perímetro circular que é 2 π r, como o radiano é a mesma medida do raio é só substituir o raio na fórmula por rad ( radiano ).
Agora clique no botão 1° quadrante e no botão Mostrar em radianos, agora mova o ponto A no botão deslizante Mover A, o botão está configurado para se mover de 15° em 15°, ou de π/12 em π/12. Clique nos demais botões 2° quadrante. No 3° e 4° também e compare os intervalos em graus e em radianos conforme mostrado a baixo:
Primeiro quadrante: 0º < A < 90º e 0 < A < π/2
Segundo quadrante: 90º < A < 180º e π/2 < A < π
Terceiro quadrante: 180º < A < 270º e π < A < 3π/2
Quarto quadrante: 270º < x < 360º e 3π/2 < x < 2π
Agora que você está habituado com os quadrantes, vamos observar como o seno se comporta no ciclo trigonométrico, você vai perceber que o seno é um diâmetro que corta o círculo verticalmente coincidindo com o eixo da abscissa Y e seu valor máximo é 1 e o valor mínimo -1,clique no botão Mostrar seno, e deixe o ponto A sem abertura, ou seja em 0°, agora clique no botão Animar A e observe que quando o ponto A passa pelos 1° e 2° quadrantes o seno tem valores positivos, quando passa pelos 3° e 4° quadrantes seus valores são negativos, o valor expresso ao seno está em par ordenado (x,y), observe que em X sempre está zero e os valores em Y variam de -1 a 1, é porque o seno está no eixo Y.
Clique em Mostrar co-seno, você vai perceber que o co-seno já é um diâmetro que corta o círculo horizontalmente, coincide com o eixo da ordenada X e seus valores ,como o seno, atingem no máximo 1 e mínimo -1, só que os quadrantes que determinam que o co-seno fique negativo ou positivo se diferem do seno, deixe o botão A na animação e observe como os valores no co-seno se comportam, observe os valores em par ordenado que em Y sempre está zero e os valores em X variam de -1 a 1, é porque o co-seno está no eixo X.
Por último clique em Mostrar tangente, você já percebe que se trata de uma reta paralela ao eixo de Y, não há como definir valores máximo ou mínimo na tangente, mas há valores positivos e negativos, os positivos do ponto de tangência para cima e negativos do ponto de tangência para baixo, o único momento em que não há valores na tangente é quando o ponto A toca no eixo Y, o valor fica indefinido para a tangente. Clique no botão Animar A e observe em quais momentos a tangente fica positiva, negativa e com o valor indefinido, observe em relação aos seus valores no par ordenado que em X sempre está com o valor 1, é porque o ponto de tangência está no ponto 1 em X, e os valores em Y variam de -1 a 1, é porque o seno está no eixo Y.
Explore bastante as relações métricas, compare com a tabela trigonométrica, que mostram os principais valores para seno, co-seno e tangente.
A ferramenta mostra os valores em números decimais, então compare com uma tabela menor que mostra os valores aproximados do número racional e dos irracionais.
Após se divertir bastante neste ambiente gráfico do Geogebra, vamos agora responder as perguntas do questionário, utilizando os recursos do programa.
QUESTINÁRIO
1 ) Ao mover o ponto A em 150° e responda:
a) Em qual quadrante o ponto A se encontra?
b) Qual o valor do seno?(responder com valor decimal)
c) O valor do co-seno é positivo ou negativo?
d) Qual o valor da tangente?(responder com o valor da tabela)
2 ) Mova o ponto A em π/3 rad e responda:
a) Em qual quadrante o ponto A se encontra?
b) Qual o valor do seno? (responder com o valor da tabela)
c) Qual o valor do co-seno? (responder com o valor da tabela)
d) Qual o valor da tangente? (responder com o valor da tabela)
3 ) Deixe visível todos os quadrantes e responda:
a) Quais os quadrantes onde o ponto A passa, deixam o seno com valor negativo?
b) Quais os quadrantes onde o ponto A passa, deixam o co-seno com valor positivo?
c) Quais os quadrantes onde o ponto A passa, deixa a tangente com valor negativo?
d) Qual quadrante corresponde ao intervalo; 3π/2 < A < 2 π ?
RESPOSTA DO QUESTIONÁRIO
1) Ao mover o ponto A em 150° e responda:
a) Em qual quadrante o ponto A se encontra?
R: 2° quadrante.
b) Qual o valor do seno?
R: 0,5
c) O valor do co-seno é positivo ou negativo?
R: positivo.
d) Qual o valor da tangente?
R: - √3/3
2) Mova o ponto A em π/3 rad e responda:
a) Em qual quadrante o ponto A se encontra?
R: 1° quadrante.
b) Qual o valor do seno?
R: √3/2
c) Qual o valor do co-seno?
R: 1/2
d) Qual o valor da tangente?
R: √3
3) Deixe visível todos os quadrantes e responda:
a) Quais os quadrantes onde o ponto A passa, deixam o seno com valor negativo?
R: 3° e 4° quadrantes.
b) Quais os quadrantes onde o ponto A passa, deixam o co-seno com valor positivo?
R: 1° e 4° quaddrantes.
c) Quais os quadrantes onde o ponto A passa, deixam a tangente com valor negativo?
R: 2° e 4° quadrantes.
d) Qual quadrante corresponde ao intervalo; 3π/2 < A < 2 π ?