Задача Д156

Условие

Вершины треугольника соединены с некоторой точкой. По отношениям m, n, в которых прямые, исходящие из двух вершин, делят противолежащие стороны, считая от третьей стороны, определить отношение, в котором прямая, исходящая из третьей вершины, делит противолежащую сторону.

Рисунок

Решение

По условию задачи и . Требуется найти . Пусть . Рассмотрим треугольник ABF и прямую DG пересекающую продолжение стороны AF в точке C. По теореме Менелая (задача Д156) можем записать пропорцию: (1). Аналогично, для треугольника FBC можем записать пропорцию: (2). Если взять пропорцию (1) и умножить её первое отношение на первое отношение пропорции (2) и второе отношение на второе отношение пропорции (2), то пропорция не нарушится. Значит можем записать: . Что и требовалось найти. Это теорема называется теоремой Чевы. Джованни Чева - итальянский математик и инженер (1647 - 1734). Он доказал эту теорему в 1678 году (ему был 31 год). Чевиана - отрезок, соединяющий вершину треугольника с некоторой точкой на противоположной стороне.