Vier Punkte und ihre Symmetrien
Diese Seite ist Teil des GeoGebra-Books Moebiusebene. verbessert Juni 2021
Vier verschiedenen Punkten sind invariant drei orthogonale Geraden des Geradenraums zugeordnet, deren Pole die Punkte paarweise harmonisch trennen. Symmetrieen der Punkte sind somit auch Symmetrieen der orthogonalen Geraden. Die Pole der orthogonalen Geraden bilden auf der Kugel ein Oktaeder, die Symmetrieen der Punkte liegen demnach in der Oktaeder-Gruppe. Die Oktaeder-Gruppe besteht aus 48 Symmetrieen, davon sind 24 gleichsinnige Möbiustranformationen. Verschiedene Symmetriekreise sind oben angezeigt. Die Symmetrieen der Oktaeder-Gruppe sind zugleich die Symmetrieen des Würfels, dessen Ecken auf den Winkelhalbierenden-Kreisen liegen. In geeigneten euklidischen Koordinaten sind die Pole der orthogonalen Geraden und die 4 vorgegebenen Punkte für ein geeignetes . Die Würfeleckpunkte in Gausskoordinaten, dh. in , erhält man aus durch Drehungen um und Spiegelung am Einheitskreis.- Ist die absolute Invariante der 4 Punkte nicht reell, so besteht die Symmetriegruppe der Punkte nur aus den Punktspiegelungen an den Geradenpolen, das sind .
- Ist reell und , so liegen die Punkte konzyklisch auf einem der orthogonalen Kreise durch die Pole; zu den Punktspiegelungen kommen nun noch die Spiegelungen an den orthogonalen Kreisen hinzu, im euklidischen KOS sind das die Spiegelungen an den Achsen und am Einheitskreis:
- Ist reell , und , so kann man das KOS so legen, dass die Punkte auf den Winkelhalbierenden liegen. Die Punkte-Paare liegen spiegelbildlich auf 2 orthogonalen Kreisen. Zu den Punktspiegelungen kommen nur die beiden Spiegelungen an den Winkelhalbierenden hinzu.
- Ist und sind die Punkte verschieden, so liegen die Punkte harmonisch. Das KOS kann dann so gewählt werden, dass die Punkte die Schnittpunkte des Einheitskreises mit den Winkelhalbierenden sind. Sie sind damit sowohl konzyklisch, als auch spiegelbildlich auf 2 orthogonalen Kreisen. Die Symmetrieen sind die Symmetrieen eines Quadrats: 4 Drehungen um und 4 Spiegelungen.
- Ist , so bilden die Punkte auf der Möbiusquadrik einen Tetraeder. Die Tetraeder-Gruppe enthält nur die Drehungen um die Achsen nicht. Sie besteht aus 12 gleichsinnigen und insgesamt 24 Symmetrieen und ist damit die Konfiguration von 4 Punkten mit den meisten Symmetrieen. Die aus Möbiustransformationen bestehende Tetraeder-Gruppe ist zugleich die Permutationsgruppe der 4 Punkte!