Il calcolo con i numeri immaginari

Le quattro operazioni

Dalle definizioni date fra numeri complessi si ricavano le seguenti regole relative ai numeri immaginari: 1.Addizione e sottrazione ai+bi=(a+b)i e ai-bi=(a-b)i 2.Moltiplicazione (essendo i²=-1) ai

bi=a

i²=a

(-1)=-ab 3.Divisione ai:bi=a:b L'addizione e la sottrazione sono operazioni interne all'insieme I in quanto hanno come risultato un numero immaginario, mentre non lo sono la moltiplicazione e la divisione in quanto hanno come risultato un numero reale.

Le potenze con i numeri immaginari

Calcoliamo innanzitutto alcune potenze a esponente naturale di i: i⁰=1; i¹=i; i²=-1; i³=i²

i=-1

i=-i; i⁴=i²

i²=(-1)

(-1)=1; i⁵=i⁴

i=1

i=i;... Come possiamo notare dalla tabella, le potenze si ripetono nell'ordine: 1,i,-1,-i, ovvero sono CICLICHE di 4. Possiamo inoltre notare che le potenze con esponente pari valgono 1 o -1, quelle con esponente dispari i o -1 Per calcolare ad esempio i¹⁴ , possiamo scrivere: i¹⁴ = i^{43+2 =} (i⁴)³

i^{2 =}1³

(-1)= -1. IN GENERALE: iⁿ=i^4k+r=(i⁴)^k

i^r = 1^k

i^r=i^r. Una potenza di i con esponente naturale n

4 è uguale alla potenza che ha per base i e per esponente il resto della divisione fra n e 4. Per calcolare la potenza di un numero immaginario basta applicare la quarta proprietà delle potenze: (x

y)² = xⁿ

yⁿ.