Il calcolo con i numeri immaginari
Le quattro operazioni
Dalle definizioni date fra numeri complessi si ricavano le seguenti regole relative ai numeri immaginari:
1.Addizione e sottrazione
ai+bi=(a+b)i e ai-bi=(a-b)i
2.Moltiplicazione (essendo i2=-1)
aibi=abi2=ab(-1)=-ab
3.Divisione
ai:bi=a:b
L'addizione e la sottrazione sono operazioni interne all'insieme I in quanto hanno come risultato un numero immaginario, mentre non lo sono la moltiplicazione e la divisione in quanto hanno come risultato un numero reale.
Le potenze con i numeri immaginari
Calcoliamo innanzitutto alcune potenze a esponente naturale di i:
i0=1; i1=i; i2=-1; i3=i2i=-1i=-i; i4=i2i2=(-1)(-1)=1; i5=i4i=1i=i;...
Come possiamo notare dalla tabella, le potenze si ripetono nell'ordine: 1,i,-1,-i, ovvero sono CICLICHE di 4.
Possiamo inoltre notare che le potenze con esponente pari valgono 1 o -1, quelle con esponente dispari i o -1
Per calcolare ad esempio i14 , possiamo scrivere:
i14 = i43+2 = (i4)3 i2 = 13 (-1)= -1.
IN GENERALE:
in=i4k+r=(i4)kir = 1k ir=ir.
Una potenza di i con esponente naturale n4 è uguale alla potenza che ha per base i e per esponente il resto della divisione fra n e 4.
Per calcolare la potenza di un numero immaginario basta applicare la quarta proprietà delle potenze:
(xy)2 = xnyn.
Addizione e sottrazione:
(4+3i) + (-5+2i)=?
(4+3i) - (-5+2i)=?
MOLTIPLICAZIONE:
Moltiplichiamo i seguenti numeri complessi:
2-3i e -6+i.
a. (2-3i)(-6+i)=?
DIVISIONE:
Eseguiamo la divisione tra 2+i e 1-i.
LA POTENZA DEI NUMERI COMPLESSI:
Calcoliamo il quadrato di -2-i.