Espacio cociente. Definición. Diferencia de vectores.
Una construcción muy útil es la de espacio vectorial cociente. Al hacer un cociente uno se olvida de ciertas propiedades de los vectores y se concentra únicamente en otras, "identificando" como uno solo ciertos conjuntos de vectores: aquellos relacionados entre sí por una relación de equivalencia forman una clase de equivalencia. En el caso de los espacios vectoriales se parte de un espacio [math]E[\math] y un subespacio vectorial suyo [math]F[\math]. La relación de equivalencia para tomar el conjunto cociente [math]E/F[\math] es
[math]\centering{v\sim w \iff v-w\in F\,.}[\math]
Y los elementos de [math]E/F[\math], las clases de equivalencia, son de la forma
[math]\centering{[v]=\{w,\, w\sim v\}=\{w,\, v-w\in F\}\,.}[\math]
La suma en [math]E/F[\math] se define sumando dos representantes cualesquiera de las clases,
[math]\centering{\begin{array}{cccc}+: & E/F \times E/F & \rightarrow & E/F \\& ([v],[w]) & \mapsto & [v]+[w]=[v+w]\end{array},}[\math]
que se puede demostrar está bien definida (no depende de la elección de representantes).
El producto por escalares se define igualmente usando un representante de la clase:
[math]\centering{\begin{array}{cccc}\cdot\,: & \K \times E/F & \rightarrow & E/F \\& (\lambda,[v]) & \mapsto & \lambda[v]=[\lambda v]\end{array}.}[\math]
En primer lugar, recordemos la interpretación geométrica de la diferencia de vectores. En el siguiente applet, se pueden cambiar los vectores [math]u[\math] y [math]v[\math] moviendo los respectivos puntos en sus extremos.