Differentialrechnung - Tangente, Normale und erste Ableitung

Differentialrechnung - Tangente, Normale und erste Ableitung Mit diesem interaktiven Arbeitsblatt kannst du erarbeiten, wie sich der Zusammenhang von Tangente und Normale in einem Punkt P_0 des Graphen einer Funktion f(x) zur ersten Ableitung dieser Funktion in diesem Punkt darstellt. Du lernst, wie man aus der Funktionsgleichung und den Punktkoordinaten des Punktes P_0 die Geradengleichungen für die Tangente und die Normale gewinnen kann.
Aufgaben 1. Auf dem Funktionsgraphen von f(x) lässt sich der Punkt P_0 bewegen. a) Bewege den Punkt und schaue Dir die Koordinaten des Punktes an. b) Gibt es Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen? c) Wie lauten deren notwendige Bedingungen? 2. a) Bilde die erste Ableitung der Funktion f(x) und b) berechne die Steigung der Funktion im Punkt P_0(2;3). Diese Steigung der Funktion sollte die Steigung der Tangente im Punkt P_0 sein. c) Ermittle die Tangentengleichung in der Form t(x)=m_T * x + b_T aus der Punkt-Richtungs-Gleichung y - y_0 = m * ( x - x_0 ). d) Blende zur Kontrolle die Tangente ein. e) Berechne die Nullstelle der Tangente. f) An der Stelle der Nullstelle der Tangente hat die Funktion einen ganz besonderen Punkt. Wie heißt dieser? 3. a) Blende das Steigungsdreieck der Tangente ein. b) Vergleiche die angegebene Steigung m_T mit dem Steigungskoeffizienten in der Geradengleichung der Tangente. c) Da gilt: m_T = tan(α) lässt sich der Steigungswinkel berechnen. Bestimme den Winkel α im Punkt P_0. 4. a) Die Normale steht orthogonal zur Tangente, d.h. senkrecht zu ihr. Berechne den Steigungswinkel β der Normalen. b) Berechne aus dem Winkel β die Steigung m_N der Normalen über die Beziehung m_N = tan(β). c) Bestimme mittels der Punkt-Richtungs-Gleichung y - y_0 = m * ( x - x_0 ) die Gleichung der Normalen. d) Blende zur Kontrolle die Normale ein. 5. a) Blende das Steigungsdreieck der Normalen ein. Die zwei Steigungsdreiecke bilden zusammen wiederum ein rechtwinkliges Dreieck mit der Höhe 1 und den Hypothenusenabschnitten m_T und m_N. b) Gibt es einen erkennbaren Zusammenhang zwischen der Steigung der Tangente m_T und der Steigung der Normalen m_N? c) Welcher Wert ergibt sich, wenn du beide Steigungen miteinander multiplizierst? 6. a) Blende den Höhensatz des Euklid ein. b) Was besagt der Höhensatz des Euklid? 7. a) Die Steigung der Tangente im Punkt P_0 hat mit der ersten Ableitung f'(x) in diesem Punkt Gemeinsamkeiten. Welche sind es? b) Blende die erste Ableitung ein und schaue Dir die Koordinaten des Punktes S an. c) Notiere dir den Zusammenhang zwischen m_T und f'(x_0). 8. a) Wie lässt sich jetzt die Steigung der Normalen m_N mit der ersten Ableitung beschreiben (s. Aufgabe 5)? 9. Fazit: a) m_T = f'(x_0) b) m_N = - 1 / m_T = -1 / f'(x_0) c) Höhensatz des Euklid: h² = p * q d) Tangentengleichung: t(x) - y_0 = m_T * ( x - x_0 ) e) Normalengleichung: n(x) - y_0 = m_N * ( x - x_0 ) Heinz Lindner, Dresden, www.lindner-dresden.de - Analysis www.lindner-dresden.de/analysis.htm