Programm vorläufig
In einem quadratischen Vektorfeld mit reeller absoluten Invariante der Nullstellen sind konfokale bizirkulare Quartiken Lösungskurven.
In diesem Abschitt sollen Eigenschaften der einzelnen bizirkularen Quartiken ermittelt werden.
Jede bizirkulare Quartik besitzt mindestens einen Symmetriekreis.
Die Quartik ist damit der Schnitt eines Kegels mit der Möbiuskugel.
Der Kegel schneidet die Ebene des Symmetriekreises in einem Kegelschnitt, d.h. die bizirkulare Quartik entsteht aus
einem Kegelschnitt durch Projektion der Symmetriekreis-Ebene auf die Kugel, vom Pol des Symmetriekreises aus.
Der Kegelschnitt in der Symmetrieebene besitzt 4, möglicherweise zusammenfallende und möglicherweise
komplexe gemeinsame Tangenten mit dem Symmetriekreis.
Die Tangenten des Kegelschnitts sind die Projektion von Kreisen, welche 1. orthogonal zum Symmetriekreis sind,
und die 2. die Quartik doppelt-berühren. Die Kegelschnitt-Tangenten sind in der Symmetrieebene daher ebenfalls
Winkelhalbierende von speziellen Geraden durch die Kegelschnittpunkte, die wir hier kurz Brennstrahlen nennen;
erklären werden wir diesen Bezeichnung anhand der konkreten Beispiele.
Zeichnet man einen der Brennpunkte F aus, so berührt der Kegelschnitt die gemeinsame Tangente in einem
eindeutig bestimmten zweiten Punkt F*.
Die Verbindungsgeraden von F* mit den gegenüberliegenden Schnittpunkten der Brennpunktstangenten gehören zu Kreisen,
welche den Symmetriekreis orthogonal schneiden. Dies sind die Leitkreise der bizirkularen Quartik.
Zu jeder Kreissymmetrie gehört zu dem ausgewählten Brennpunkt F ein Leitkreis.
Mit Hilfe dieser Leitkreise kann man die bizirkulare Quartik "konstruieren":
Das ergibt sich aus der wesentlichen Eigenschaft der Leitkreise:
- Spiegelt man den ausgewählten Brennpunkt an den doppelt-berührenden Berührkreisen, welche durch die Kreissymmetrie gegeben sind, so liegen die Spiegelbilder auf dem Leitkreis.
- Zu jedem Punkt P auf dem Leitkreis kann man den doppelt-berührenden Kreis K und den/die zugehörenden Quartik-Punkt(e) so konstruieren, dass F gespiegelt an K gerade der Leitkreispunkt P ist.