rij van Fibonacci en Pythagorese drietallen

Fibonacci

Rond 1200 formuleert Leonardo van Pisa, bijgenaamd Fibonacci de reeks: 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89... Hij formuleert ze als oplossing voor het zgn. konijnenprobleem: "Hoeveel konijnen zijn er na een jaar als...". Meer over de reeks lees je op rij van Fibonacci. Middeleeuwer Fibonacci heeft waarschijnlijk nooit vermoed dat zijn oplossing van het konijnenprobleem wereldberoemd zou worden en blijven. Meer nog, de rij waarvan de getallen het aantal konijnen weergeven duikt op in tal van andere verbanden die niets met konijnen te maken hebben. Zo kan je met de reeks een spiraal tekenen, en duikt zelfs de gulden snede op. Ga je nu zelfs beweren dat de rij iets met Pythagorese drietallen te maken heeft...

Pythagorese drietallen

Laten we de rij van Fibonacci nog eens overlopen: 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 233 ... Wat blijkt: na 5 is elk tweede Fibonaccigetal de schuine zijde van een rechthoekige driehoek met gehele zijden. Dat is dus het geval voor 5, 13, 34, 89 en 233. En het vergt wat zoekwerk, maar snuggere rekenaars ontdekten dat je via eenzelfde berekening voor elke schuine zijde ook de bijhorende rechthoekszijden kunt terugvinden. De grote rechthoekszijde is gelijk aan de som van de 3 zijden van vorige driehoek in de reeks. De kleine rechthoekszijde is het verschil van vorig Fibonaccigetal en de korte rechthoekszijde van vorige driehoek.. Het is niet de aangewezen manier om Pythagorese drietallen te generenen, maar het is wel merkwaardig dat dat je in de rij van Fibonacci een systeem terugvindt dat je op Pythagorese drietallen kan plakken. We rekenen een en ander even na in onderstaand applet.