Beschränktheit, Monotonie und Konvergenz von Zahlenfolgen
Beschränktheit, Monotonie und Konvergenz von Zahlenfolgen
Prüfen Sie die gegebene Folge auf Beschränktheit, Monotonie und Konvergenz. Einige mögliche Verläufe von Folgen sind: wachsend/fallend, beschränkt/unbeschränkt, oszillierend, konvergent oder divergent.
Mit Hilfe des Graphen einer Folge lassen sich diese Eigenschaften untersuchen. Dabei werden Punkte P(n, an), wobei n∈N der Index des Folgegliedes ist, in einem Koordinatensystem gezeichnet. In Eingabefeld kann man eine Folge (an) in explizierter Form, sowie die Index-Werte für das Anfangsglied na und für das Endglied ne eingeben. Mit dem Schieberegler k kann man ein ak-Folgeglied im ausgewählten Intervall visualisieren, denn jedem Folgeglied ak wird ein Punkt P( k, ak ) zugeordnet. Bewegt man den Schieberegler, so lässt sich die Monotonie, Beschränktheit und Konvergenz beobachten.
Ist eine Folge konvergent gegen l, so nähern sich die Folgenglieder an mit wachsendem Index n an einen Grenzwert l. Der vermutete Grenzwert l kann man in das entsprechende Eingabefeld eingeben. Diesem Wert entspricht grafisch der Punkt B auf der y-Achse. Die ε-Umgebung kann man mit einem zweiten Schieberegler einstellen. Konvergiert eine Folge gegen den Grenzwert l, so liegen in jeder ε-Umgebung fast alle Glieder der Folge: | an – l | < ε. Die endliche Anzahl der Folgeglieder für dieselbe Folge außerhalb der ε-Umgebung ist vom ε-Wert abhängig.