センター試験数学ⅠA第５問
- Author:
- Bunryu Kamimura
四角形ABCDにおいて、AB=4、BC=2、DA＝DCであり、４つの頂点A,B,C,Dは同一円周上にある。
対角線ACと対角線BDの交点をE、線分BCを２：３に内分する点をF。直線FEと直線DCの交点をGとする。
∠ABCの大きさが変化するとき四角形ABCDの外接円の大きさも変化することに注目すると、
∠DAC＝∠DCA=∠DBC＝∠（ ）。このことより、EC／AE＝（１／２）である。
次に△ACDと直線FEに着目すると、GC／DG=（１／３）である。
(１)直線ABが点Gを通る場合について考える。
この時、△AGDの辺AG上に点Bがあるので、BG＝（３）である。
また、直線ABと直線DCが点Gで交わり、４点ABCDは同一円周上にあるので、DC＝（２）√（７）である。
(２)四角形ABCDの外接円の直径が最小となる場合について考える。
この時、四角形ABCDの外接円の直径は（４）であり、∠BAC＝（ ）°である。
また、直線FEと直線ABの交点をHとするとき、
GC／DG＝（ ）／（ ）の関係に着目してAHを求めると、AH=（２）である。
数値を求めるのは、メネラウスとチェバ、方べきの定理を用いる。
メネラウスの定理 http://tube.geogebra.org/material/simple/id/1733633#material/1741423
チェバの定理http://tube.geogebra.org/material/simple/id/1733623#material/1741489
方べきの定理http://tube.geogebra.org/material/simple/id/2468043