Gauss-Algorithmus 4x4 Zeilentausch-Matrizen
- Autor:
- hawe
- Thema:
- Matrizen
(1) Ausgehend von einem LGS { r, s, u, v} ziehe ich die Matrix A und den Vektor b aus dem LGS heraus
(2) Ggf. überschreiben sie die Matrix A = { {}..{} } mit einer direkten Angabe einer Matrix ihrer Aufgabenstellung.
(3) Dann ist auch b mit einer direkten Vektor/Listen-Form zu beschreiben.
(4) Darstellung der aus dem LGS (1) resultierenden Matrixschreibweise.
(6)..(11) Schrittweise Konstruktion der Umformung zur oberen Dreiecksmatrix
A3 = L3 L2 L1 A
- A1=L1 A: L1 enthält in der 1.Spalte die Faktoren mit denen die erste Zeile multipliziert und zur Zeile A(2), A(3), A(4) addiert wird. Im Ergebnis A1 entstehen in der erste Spalte unter der Diagonalen Nullwerte.
- A2= L2 A1: L2 enthält in der 2.Spalte die Faktoren mit denen die zweite Zeile multipliziert und zur Zeile 3,4 von A1 addiert wird. Im Ergebnis A2 entstehen in der zweiten Spalte unter der Diagonalen Nullwerte.
- A3=L2 A2: L3 enthält in der 3.Spalte den Faktor mit dem die dritte Zeile multipliziert und zur Zeile 4 von A2 addiert wird. Im Ergebnis A3 entsteht in der dritten Spalte unter der Diagonalen ein Nullwert.
- L3 L2 L1 A=A3 ist eine obere Dreicksmatrix. In der letzten Zeile, Zeile 4 ist nur noch eine Variable.
- A4 = R0 A3: Diagonalelemente A3 auf 1 setzen
- A5 = R1 A4: Zeile 4 ,A4(4) zu den Zeilen A4(3), A4(2), A4(1) addieren um in der letzten Spalte 0en zu erhalten
- A6 = R2 A5: Zeile 3, A5(3) zu den Zeilen A5(2) A5(1) addieren um in der 3. Spalte 0en zu erhalten
- E = R3 A6: Zeile 2 A6(2) zur Zeile 1 A6(1) addieren um in der 2. Spalte 0en zu erhalten
- und im Endergebnis erhalte ich die Einheitsmatrix
- die Umformungen auch auf dem Lösungsvektor b anwenden (R3 R2 R1 R0 L3 L2 L1) b
- ergibt den Lösungsvektor