Sistema básico

Sistema básico
Presentamos una actividad muy sencilla de realizar con los alumnos pero que permite desarrollar muchas facetas matemáticas en el alumno. Planteada para 3º de ESO nos permitirá ver múltiplos y divisores, explorar las relaciones que aparecen cuando asignamos a ciertos elementos geométricos dichos múltiplos, investigar sobre como obtener ciertos patrones y descubrir lo que hay detrás de un eclipse. [br][br][br]
Un punto moviéndose a una distancia fija de un centro fijado
Actividades
[list][*]Coloca los deslizadores R, r y [img width=23,height=21]data:image/png;base64,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[/img] con valores 2, 1 y 0 respectivamente.[br] [/*][*]Coloca el deslizador [img width=24,height=21]data:image/png;base64,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[/img]en 1. Describe lo que sucede. Prueba con otras velocidades de [img width=24,height=21]data:image/png;base64,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[/img].[br] [/*][*]Coloca el deslizador [img width=23,height=21]data:image/png;base64,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[/img] en 1. Describe lo que sucede. ¿Por qué salen circunferencias concéntricas?[br][br][/*][*]Coloca el deslizador [img width=23,height=21]data:image/png;base64,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[/img] en 2. ¿Cómo describirías esa curva que sale?[br][br][/*][/list][br][br]
Crea tus propias construcciones

Introducción

Durante varios años he tenido la suerte de trabajar con Antonio Pérez Sanz en el IES Salvador[br]Dalí, un maestro al que siempre merece la pena escuchar y del cual aprendí y aprendo mucho en esto de enseñar matemáticas.[br][br] Allá por el año 2006 Antonio trabajó con sus alumnos en una ecuación muy particular [math]r=a+bcos\left(k\right)\theta[/math].[br]Ecuación escrita en coordenadas polares y que representa a una familia de curvas llamadas “Concoides de Rosetón”. [br][br] Al hilo de la forma polar de un número complejo que vemos en bachillerato esta curva se presta mucho a la investigación, a tocar y a descubrir regularidades. Y no solo por nuestros alumnos. Muchos de nosotros quizás nos preguntemos ¿Cómo será la pendiente de la recta tangente en un punto de la curva? ¿Qué curva tendrá la derivada ? ¿Será otra flor? ¿Cual será su área? ¿Cual será su longitud? [br][br] Como dice el poeta Jesús Lizano en su poesía “Las personas curvas”:
Las personas curvas

Números complejos

[code][/code][justify][code][/code][/justify][justify]Un número complejo se define de la forma [math]z=a+bi[/math]con [math]a,b\in\mathbb{R}[/math] e [math]i=\sqrt{-1}[/math]i. Geogebra permite la representación de complejos sin más que escribir en la barra de entrada[math]a+bi[/math], por ejemplo, [math]3+4i[/math] . [br][br]Las últimas versiones de GeoGebra ya reconocen directamente la expresión [math]3+4i[/math], no obstante, para introducir la unidad imaginaria pulsamos la combinación de teclas Alt+i (windows), ctrl+i (mac) o seleccionamos en la caja de símbolos que se encuentra a la derecha de la barra de entrada la unidad imaginaria.[icon]/images/ggb/toolbar/mode_point.png[/icon][br][br]También es posible trabajar las operaciones básicas: suma, resta, multiplicación y división con sus símbolos habituales +,-,· y / en la vista CAS.[/justify][br]También disponemos de las funciones elementales con números complejos: [br][br][table][tr][td][/td][td][b]Comando [/b][/td][td][b]Función[/b][/td][/tr][tr][td][b]Parte real (z)[/b][/td][td]x(z)[/td][td]real(z)[/td][/tr][tr][td][b]Parte imaginaria(z)[br][/b][/td][td]y(z)[/td][td]imaginaria(z)[/td][/tr][tr][td][b]Módulo(z)[br][/b][/td][td]Longitud[z][/td][td]abs(z)[/td][/tr][tr][td][b]Argumento(z)[br][/b][/td][td]Ángulo[z][/td][td]arg(z)[/td][/tr][tr][td][b]Conjugado[/b][/td][td]Refleja[z,EjeX][/td][td]conjugado(x)[/td][/tr][/table][justify][br]Y los comandos:[/justify][list][*][b]Acomplejo[] [/b] que transforma un vector o un punto en un número complejo expresado algebraicamente.[/*][/list][list][*][b]Apunto[][/b] que crea el punto que corresponde al número complejo dado, es decir, el afijo.[br] [/*][*][b]Apolar[] [/b]que tiene por resultado el par [i](módulo; argumento)[/i], es decir, la expresión trigonométrica del complejo dado. [/*][/list]

Napoléon y las matemáticas

[br][br][color=#000000][b]¿Pudo el éxito militar de Napoleón Bonaparte estar basado en sus conocimientos de geometría?[/b][/color][br][color=#000000]Estadista y gran estratega militar, tenía fundados conocimientos matemáticos, algo infrecuente entre grandes gobernantes y políticos. [/color][br][color=#000000]Las matemáticas en la vida de Napoleón tuvieron una presencia notable, pero es con el Teorema que lleva su nombre, donde se confirma ese interés y gusto por la geometría. En 1826 apareció publicado el Teorema de Napoleón, que se ha atribuido erróneamente a su persona. N[/color][color=#000000]o hay pruebas tangibles de que sea el verdadero autor y, de hecho, apareció publicado años después de su muerte. El autor fue Lorenzo Mascheroni, quien sabiendo de la pasión del general francés por la geometría, le dedicó su libro [/color][color=#000000][i]Geometría [/i][/color][i][color=#000000][i]del Compasso[/i][/color][/i][i][color=#000000][i], [/i][/color][/i][color=#000000]1797. La confusión hizo que de forma injusta se atribuyera a Napoleón el nombre del teorema y su demostración.[/color][br][br]
[br][color=#000000][b]Napoleón[/b] era un entusiasta matemático, fascinado por la geometría, ciencia de gran importancia militar. Además sentía ilimitada admiración por los matemáticos franceses, asistió a clases de[b] Louis Monge y de[br] Pierre-Simón de Laplace[/b] al que nombró ministro del Interior durante un breve periodo del Consulado, y después senador.[/color][br][color=#000000]Napoleón se rodeó en su corte de científicos, geógrafos, químicos, zoólogos y artistas, incluyendo el gran matemático Monge, al que nombró conde y senador. [br][/color][color=#000000] [b]Mascheroni[/b] fue ardiente admirador de Napoleón y de la Revolución Francesa.[br]Ambos se conocieron en 1796 con la invasión francesa del norte de Italia y estrecharon una sólida amistad. La influencia de Mascheroni en el militar francés fue decisiva. Se dice que en 1797, mientras[br]Napoleón estaba con [b]Joseph Louis Lagrange[/b] y Pierre Simon de Laplace, el pequeño general sorprendió a ambos explicándoles la demostración del teorema que da nombre a este artículo de[br]“CreoGebra”. Laplace comentó en esa ocasión: [/color][br][color=#000000][i] «General, esperábamos de vos cualquier cosa, excepto lecciones de geometría»[/i][/color][br][color=#000000][br]Napoleón dio a conocer la obra de Mascheroni a los matemáticos franceses. En 1798, un año después de la primera edición italiana, ya se había publicado en París una traducción de la Geometría del Compasso.[/color][br][color=#252525][br][center][/center]A BONAPARTE L'ITALICO[br][table][tr][td][color=#252525][i]Io pur ti vidi coli invitta mano,[/i][/color][color=#252525][br][/color][color=#252525][i]Che parte i regni, e a Vienna intimò pace,[/i][/color][color=#252525][br][/color][color=#252525][i]Meco divider con attento guardo[/i][/color][color=#252525][br][/color][color=#252525][i]Il curvo giro del fedel compasso.[/i][/color][color=#252525][br][/color][color=#252525][i]E te pur vidi aprir le arcane cifre[/i][/color][color=#252525][br][/color][color=#252525][i]D’ardui problemi col valor d’antico[/i][/color][color=#252525][br][/color][color=#252525][i]Geometra Maestro, e mi sovvenne[/i][/color][color=#252525][br][/color][color=#252525][i]Quando l’alpi varcasti Annibal nove[/i][/color][color=#252525][br][/color][color=#252525][i]Per liberar tua cara Italia, e tutto[/i][/color][color=#252525][br][/color][color=#252525][i]Rapidamente mi passò davanti[/i][/color][color=#252525][br][/color][color=#252525][i]L’anno di tue vittorie, anno che splende[/i][/color][color=#252525][br][/color][color=#252525][i]Nell’abuso de’ secoli qual sole.[/i][/color][color=#252525][br][/color][color=#252525][i]Segui l’impresa, e coll’invitta mano[/i][/color][color=#252525][br][/color][color=#252525][i]Guida all’Italia tua liberi giorni.[/i][/color][/td][td][i]Y yo te vi con la mano invicta,[/i][br]Q[i]ue partió los reinos y en Viena ordenó la paz,[/i][br]D[i]ivisor de Meco con mirada atenta[/i][br]A[i]l curvo giro del fiel compás.[/i][br][i]Y también te vi abrir arcanas cifras[/i][br]E[i]n difíciles problemas con valor de antiguo[/i][br]G[i]eómetra maestro, y me hace recordar[/i][br]C[i]uando los Alpes sometiste como Aníbal[/i][br][i]Para liberar a tu querida Italia, y con gran[/i][br]R[i]apidez pasó delante de mí[/i][br]E[i]l año de tus victorias, año que brilla[/i][br]E[i]n el paso de los siglos como el sol.[/i][br][i]Sigue tu empresa, y con[br]la mano invicta[/i][br]G[i]uía a tu Italia a sus días de libertad.[/i][/td][/tr][/table][/color]
Imagen de Masecheroni

¿Qué es una demostración sin palabras (DSP)?

[justify]Decía Miguel de Guzmán:[br][/justify][quote]Las ideas, conceptos y métodos de las matemáticas presentan gran riqueza de contenidos visuales, representables intuitivamente, geométricamente, cuya utilización resulta muy provechosa, tanto en las tareas de representación y manejo de tales conceptos y métodos como en la manipulación con ellos para la resolución de problemas de campo[/quote][br][table][tr][td]Podríamos resumir la frase anterior en: “una imagen vale más que mil palabras”, frase muy usada por los matemáticos antiguos, de hecho, podemos remontarnos a la demostración del Teorema de Pitágoras que se encuentra en el texto chino Zhoubi Suanjing, que aún sin tener una datación clara se estima se escribió entre el 500 y el 300 a. C., para ver una imagen explicando el teorema (Ilustración 3). Posteriormente aparecían las atribuidas a Pitágoras.[br][/td][td][img]https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/c/c3/Chinese_pythagoras.jpg/320px-Chinese_pythagoras.jpg[/img][/td][/tr][/table][br]  El uso de imágenes para explicar un concepto o resultado matemático era un recurso muy usado por los antiguos, ya sea por falta de aparato algebraico o por la transmisión de conocimientos mediante imágenes, pero dicha práctica no llegó a extenderse y mucho menos aceptarse como demostración con o sin palabras.

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