Ebene äquiforme Geometrie
Auf der Möbiusquadrik wird ein Punkt ausgezeichnet. Die Möbiusabbildungen mit Fixpunkt bilden eine Untergruppe, deren LIE-Algebra besteht aus allen : die Vektoren in , die als Pol besitzen, bilden eine LIE-Unteralgebra. "Geraden" dieser ebenen Geometrie sind die Kreise durch . Die äquiforme Gruppe besteht aus Drehstreckungen, speziell aus Drehungen, bzw. Streckungen mit einem Punkt als Zentrum, Verschiebungen und Spiegelungen und Gleitspiegelungen an "Geraden".
Wir ergänzen zu einem euklidischen Koordinatensystem (s. 5.10) und zerlegen den Geradenraum . Hierbei bestehe aus allen Geraden durch : . bestehe aus allen Geraden, die in der Tangentialebene von liegen.
Die Schnittgeraden aus identifizieren wir in inhomogenen Koordinaten mit den "Punkten" der Gauss-schen Zahlenebene, dh. mit den "Punkten" der Ebene.
Die "Geraden" der Ebene sind die Geraden aus mit den Koordinaten . Der "Vektor" ist Richtungsvektor der Geraden,
ist orthogonal zur Geradenrichtung, ist der Abstand der Geraden zum Ursprung.
Die angegebene Zerlegung von beschreibt im Grunde wieder die stereographische Projektion in Geradenkoordinaten.
Man kann auch als reelle projektive Ebene deuten, die Fernpunkte sind die Tangenten in . Dual dazu ist die reelle projektive Ebene der Geraden in , repräsentiert die Ferngerade.
Wirklich invariant in dieser Geometrie ist nur der Punkt . Jede andere komplexe Skalierung von und jede andere Wahl des euklidischen KOS und damit der Zerlegung führt aber zu isomorphen Verhältnissen.
Inzidenz, Verbindungsgerade, Schnittpunkt, Schnittwinkel
- Ein Punkt liegt auf der Geraden genau dann, wenn
- In Koordinaten: Ein Punkt liegt auf der Geraden genau dann, wenn
- Die Verbindungsgerade der Punkte ist die Gerade . , wenn auf einer Ursprungsgeraden liegen.
- Der Schnittpunkt zweier Geraden ist der Punkt ; für parallele Geraden ist .
- Der Schnittwinkel zweier Geraden ist .
- In Koordinaten : .