Eigenschaften von Funktionen
- Autor:
- michi.schneider
Monotonie von Funktionen
Definition
Es sei f: A eine reelle Funktion und M eine Teilmenge von A. Die Funktion heiß
monoton steigend im M, wenn für alle x1, x2 M gilt: x1 < x2 f(x1) f(x2)
monoton fallend im M, wenn für alle x1, x2 M gilt: x1 < x2 f(x1) f(x2)
streng monoton steigend im M, wenn für alle x1, x2 M gilt: x1 < x2 f(x1) f(x2)
streng monoton fallend im M, wenn für alle x1, x2 M gilt: x1 < x2 f(x1) f(x2)
Diese Definition ist in der folgenden Abbildung veranschaulicht:
Globale Extremstelle
Definition
Es sei f: A eine reelle Funktion und M eine Teilmenge von A. Eine Stelle p M heißt
Maximumstelle von f in M, wenn für alle x M gilt: f(x) f(p)
Minimumstelle von f in M, wenn für alle x M gilt: f(x) f(p)
Eine Maximum- bzw. Minimumstelle von f in M wird auch als Extremstelle von f in M bezeichnet.
Die Extremstellen einer Funktion f in einer Menge M beziehen sich immer auf die ganze Menge M, d.h. in dem gesamten Bereich M gibt es keine Stelle, an der der Funktionswert einen größeren oder kleineren Wert annimmt.
Lokale Extremstellen
Definition
Es sei f: A eine reelle Funktion. Eine Stelle p A heißt
lokale Maximumstelle von f, wenn es eine Umgebung U(p)gibt, sodass p Maximumstelle von f in U(p) ist,
lokale Minimumstelle von f, wenn es eine Umgebung U(p)gibt, sodass p Minimumstelle von f in U(p) ist,
Eine lokale Extremstelle liegt dann vor, wenn in einem Bereich rund (d.h. links und rechts) um die Stelle p gibt, in dem f(p) der größte Funktionswert ist.
Das folgende Applet veranschaulicht den Unterschied zwischen lokaler Maximumstelle und globaler Extremstelle.
p1 ist eine Maximumstelle, weil dort die Funktion im Intervall M den größten Funktionswert annimmt.
p2 ist eine Minimumstelle, weil dort die Funktion im Intervall M den kleinstenFunktionswert annimmt.
p3, p5 sind lokale Maximumstellen, weil man eine Umgebung angeben kann, in der f(p3) bzw. f(p5) den größten Funktionswert annehmen.
p4 ist eine lokale Minimumstellen, weil man eine Umgebung angeben kann, in der f(p4) den kleinsten Funktionswert annimmt.
Gerade und ungerade Funktion
Definition
Eine reelle Funktion f: A heißt
gerade, wenn für alle gilt: f(-x) = f(x)
ungerade, wenn für alle gilt: f(-x) = -f(x)
Untersuche mit dem Applet, für welchen ganzzahligen Exponenten die Potenzfunktion f(x) = gerade bzw. ungerade ist.
Der Graph gerader Funktionen ist symmetrisch um die y-Achse.
Der Graph ungerader Funktionen ist punktsymmetrisch um den Ursprung.