Punto notevole di Brocard
Teorema di Brocard
Dato un triangolo qualsiasi con vertici , , e lati opposti , , esiste (a meno di fissare un verso di percorrenza dei vertici) un unico punto tale che i segmenti , e formano lo stesso angolo con i lati , , , cioè:
Inoltre, detto tale angolo e , e gli angoli corrispondenti ai vertici , e , vale la seguente uguaglianza:
Prima di dimostrare il teorema di Brocard enunciamo e dimostriamo il teorema di Ceva, il quale fornisce la condizione necessaria e sufficiente affinché tre rette passanti per i vertici di un triangolo siano concorrenti.
Teorema di Ceva
Consideriamo un triangolo qualsiasi di vertici , , e tre punti , ed scelti rispettivamente sui lati , e . Ne consegue che le rette , e sono concorrenti se e solo se è soddisfatta la relazione
Dimostrazione goniometrica del teorema di Ceva
Attraverso il teorema dei seni, la relazione
può essere riscritta come:
Supponiamo che le rette , e concorrano nel punto . Calcoliamo ora il rapporto tra le aree dei triangoli e :
Similmente:
Da queste relazioni segue:
Allo stesso modo è possibile dimostrare il viceversa.
Dimostrazione del teorema di Brocard
Applichiamo il teorema di Ceva nella sua forma trigonometrica ad un triangolo . Per fare in modo che le rette per i vertici siano concorrenti in P deve valere:
Affinché i tre angoli in rosso siano congruenti, la relazione di Ceva diventa:
Sviluppando in tale relazione i seni a secondo membro e successivamente dividendo per si ottiene:
ovvero
dove
Per ABC triangolo qualsiasi, valgono inoltre le seguenti relazioni goniometriche:
per le quali l'equazione diventa:
Scomponendo tale espressione si ottiene:
che è verificata per