Zeit - Elongations - Gesetz

Aufgaben

Ziel: Schwingungen eines Federpendels in Abhängigkeit der Zeit mit einer Funktionsgleichung beschreiben Um das ty-Diagramm (Zeit-Elongation-Diagramm) mit einer Funktionsgleichung zu versehen, brauchen wir einen neuen Funktionstypen: Die Sinusfunktion!

1) sin() und die Funktion f mit f() = sin(): Nun dürfen Sie selbst die Zeit vorgeben: Betätigen Sie unten in der App den Schieberegler zu t. Dargestellt wird der Graph der Sinusfunktion. Die Funktionswerte pendeln mit dem Schwerpunkt der Kugel, die an der Feder hängt. Mit fortlaufender Zeit (über den Schieberegler einstellbar) wird der Winkel

(gesprochen: "phi") immer größer, und die Funktionswerte pendeln zwischen -1 und +1. Bevor wir die Zusammenhänge untersuchen (z.B.: Wo kommt der Winkel

her?), vergewissern Sie sich bitte, dass die Funktionswerte mit den Werten übereinstimmen, die Sie mit der sin-Taste Ihres Taschenrechners berechnen können. Wenn Sie z.B. t=1,01s einstellen, sehen Sie, dass sin(90°) = 1 ist und dass der Graph der Funktion bei 1 liegt.

2) Wo befindet sich der Winkel in dieser Darstellung? Der Sinus ist doch als Sinus eines Winkels definiert! Markieren Sie dafür "Einheitskreis anzeigen" mit einem Häkchen. Der Einheitskreis hat per Definition den Radius 1 (ohne Einheit). Lassen Sie nun die Zeit zwischen 0 Sekunden und einer Sekunde hin- und hergehen. Beobachten Sie dabei die blaue "Höhe" des Dreiecks im Einheitskreis und die "blaue Höhe" im Diagramm, die den momentanen Funktionswert angibt. Diese blaue Linie hat immer den Wert sin(

). Warum? Schlagen Sie die Definition vom Sinus eines Winkels nach! Tipp: Die Hypotenuse des Dreiecks in der Definition ist hier der Radius des Einheitskreises.

3) Die Sinusfunktion für Winkel größer als 90°: Die Sinusfunktion macht aber bei

= 90° nicht halt: Wenn Sie die Zeit weiter erhöhen, sehen Sie, dass sich die Sinusfunktion symmetrisch verhält. Setzen Sie nun auch ein Häkchen bei "

anzeigen". Nun können Sie für die einzelnen Winkel mit dem Taschenrechner die Funktionswerte zu sin(

) = sin(

t) ausrechnen! Berechnen Sie mit Ihrem Taschenrechner mehrere Werte für sin() im Bereich zwischen 90° und 360° (und noch größere Winkel). Vergleichen Sie diese mit den zugehörigen Funktionswerten im Diagramm.

4) Berechnung des Winkels aus der Zeit (x-Achse) und der Federkonstante: Der Winkel

kommt in dem Diagramm nicht direkt sichtbar vor, sondern nur

t in der Funktionsgleichung zu y(t). ist die sogenannte Winkelgeschwindigkeit, also die Geschwindigkeit, mit der wächst. Die Beziehung zwischen der Winkelgeschwindigkeit

und der Periodendauer T sehen Sie durch Betätigen des Häkchens "

berechnen". Schreiben Sie sich diese Formel ab und berechnen Sie sowohl

als auch T für dieses Beispiel. Merke: Eine Schwingung, die mit einer Sinusfunktion beschrieben werden kann, heißt harmonische Schwingung. Anmerkung: Die Federschwingung beginnt im Experiment beim Loslassen der Feder, nachdem sie auseinandergezogen wurde. In unserer Animation startet die Feder in der Ruhelage, so dass das ty-Diagramm im Punkt N(0|0) starten kann. Das vereinfacht den Formalismus. Diesen Fehler werden wir in Kap.2.2 beheben, nachdem Sie sich mit den Grundlagen vertraut gemacht haben. Wir können bis dahin davon ausgehen, dass wir die Zeit er ab dem ersten Durchgang durch die Ruhelage starten.

Zeit - Elongations - Gesetz

Aufgaben

Federpendel-Schwingung mit Einheitskreis

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