Bimédianes d'un tétraèdre orthocentrique
- Auteur :
- Debart Patrice
• Un tétraèdre qui a ses quatre hauteurs concourantes est dit orthocentrique. Le point concours est alors l'orthocentre du tétraèdre.
• Un tétraèdre orthocentrique ABCD a ses arêtes opposées orthogonales deux à deux.
• La somme des carrés des longueurs de deux arêtes opposées est la même pour chacune des trois paires d'arêtes opposées :
AB² + CD² = CA² + DB² = CB² + DA².
Trois points B, C et D dans le PlanxOy.
H orthocentre de BCD : H = TriangleCentre[B,C,D,4]
A un point sur la perpendiculaire à PlanxOy passant par H
ABCD est un tétraèdre orthocentrique de base BCD et de sommet A.
Dans ce tétraèdre on appelle B', C', D', I, J et K les milieux des arêtes.
a. Déterminer la nature du quadrilatère IJB'C'.
b. Démontrer que les trois bimédianes, segments ayant pour extrémités les milieux des arêtes opposées, ont même longueur a.
c. Démontrer que la somme des carrés des longueurs de deux arêtes opposées est égale à 4a².
Les bimédianes sont concourantes en G, centre de gravité du tétraèdre.
Section plane du tétraèdre
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Montrer que le plan (IJB') est parallèle aux arêtes orthogonales [AD] et [BC].
La section plane IJB'C' est un rectangle dont les longueurs des côtés sont égales à la moitié de AD ou BC.
Indications
a.IJB'C' est un rectangle car les côtés sont deux à deux parallèles et égaux à la moitiés des arêtes orthogonales (AD) et (BC).
b. Les diagonales d'un rectangle sont égales : IB' = JC' = KD' = a.
c. AB² + CD² = CA² + DB² = CB² + DA² = 4a² (nombres a2, a3 et a4 dans GeoGebra).
voir les calculs dans la page
Descartes et les Mathématiques - Tétraèdre avec GeoGebra 3D