Aire minimale de deux carrés dans un carré
- Auteur :
- Debart Patrice
On considère un carré ABCD de côté 4.
On place un point M, variable sur la diagonale ]AC[, et par M on trace deux parallèles aux côtés du grand carré qui le partagent en deux carrés et deux rectangles.
Il s'agit de déterminer la position du point M sur le segment [AC] pour que la somme des aires des petits carrés soit minimale.
On affiche les axes.
– On construit le carré ABCD et un point M sur la diagonale. On calcule la différence a des abscisses de M et de A.
– On construit les carrés ANMP et MRCQ, GeoGebra renvoie leurs aires que l'on somme dans la variable b.
– On construit enfin le point L de coordonnées (a, b) dont on active la trace.
On peut dès lors faire varier le point M et conjecturer le minimum b = 8, pour a = 2.
Parabole avec GeoGebra
– En déplaçant M sur toute la diagonale, on observe que la trace semble être une branche de parabole.
Pour effacer la trace du point L, cliquer sur « Réinitialiser la construction » ou appuyer simultanément sur les deux touches CTRL et F.
– Cocher la case parabole de recherche, saisir la fonction carré f(x) = 2x^2, et l'«amener » sur la trace par trouve la fonction f représentant l'aire.
– Cocher la case parabole solution : GeoGebra affiche alors la fonction (x - 2)² + 8, ce qui permet de répondre à la question.
En effet, ce calcul de l'aire est du second degré, avec un coefficient 2 pour x². Vérifier la parabole sur trois points suffit pour valider le résultat.
Remarque : on retrouve cette figure dans les Éléments où Euclide montre que les deux rectangles ont même aire.
À une ou deux affinités près, cet exercice se traite dans un rectangle ou dans un parallélogramme.
On obtient toujours la même conclusion :
Le minimum est atteint pour le milieu de la diagonale.
Descartes et les Mathématiques : Optimisation en classe de seconde