Distance minimale dans un triangle rectangle
- Auteur :
- Debart Patrice
- Thème :
- Rectangle
Où placer un point de l'hypoténuse d'un triangle rectangle pour que la distance entre ses projections sur les petits côtés soit minimale ?
ABC est un triangle rectangle en A, et M un point de l'hypoténuse [BC]. Les perpendiculaires à [AB] et [AC] passant par M coupent [AB] en N et [AC] en P.
Où placer le point M pour que la distance NP soit la plus petite possible ?
Une fois la construction réalisée, le logiciel permet d'afficher la distance NP qui varie quand on déplace le point M sur [BC], on peut facilement invalider les conjectures qui apparaissent fréquemment sur papier (le milieu ou les points B et C).
Si le triangle ABC construit est trop particulier, on peut le déformer (tout en le conservant rectangle). Le logiciel permet d'observer que le point M peut être placé n'importe où sur [BC], que son déplacement modifie la longueur NP et ainsi de comprendre le problème posé.
En déplaçant le point M on peut aussi observer les invariants de la figure (ici que le quadrilatère MNAP est toujours un rectangle). L'observation du rectangle conduit à la solution (le pied de la hauteur) et à la démonstration (AM = NP).
Descartes et les Mathématiques - Distance minimale dans un triangle rectangle