Alignement avec le sommet d'un triangle
- Auteur :
- Debart Patrice
ABC est un triangle.
O un point de (BC).
Par B et C, on trace deux droites d1 et d2 parallèles.
La parallèle à (AC) passant par O coupe d1 en I et la parallèle à (AB) passant par O coupe d2 en J.
But du problème : montrer que A, I et J sont alignés.
Décocher pour obtenir la figure de base
Démonstration par les angles inscrits
Par parallélisme des côtés : IOJ = BAC = α.
Soit les cercles circonscrits à IOB et JOC qui se recoupent en K.
Étudions les angles inscrits qui interceptent [OK] :
OIK = OBK et OJB = OCK, d'où OIK + OJK = OBK + OCK.
Les suppléments de ces sommes sont égaux, donc BKC = IOJ = α.
K est donc situé sur le cercle circonscrit à ABC.
Dans ce cercle, on a l'égalité des angles inscrits : ABK = ACK.
Montrons que K est aligné avec I et J, en calculant l'angle IKJ :
IKJ = IKB + BAC + CAJ = BOI + α + JOC = 180°, car B, O et C sont alignés.
Terminons en montrant que A est aligné avec I et J, en calculant l'angle IAJ, en passant par la somme des angles de divers triangles :
IAJ = IAB + α + CAJ = 180° – (AIB + IBA) + α + 180° – (AJC + ACJ).
En ajoutant et retranchant les angles ABK = ACK :
IAJ = 180° – (AIB + IBA + ABK) + α + 180° – (AJC + ACJ – ACK).
= 180° – (AIB + IBK) + α + 180° – (KJC + JCK).
D'où IAJ = IKB + BKC + CKJ = 180° : I, A et J sont alignés.
Descartes et les Mathématiques : montrer un alignement
Voir une autre démonstration, par l'absurde, avec le petit théorème de Pappus