Metadatei: Von der Koordinatenform in die analytische Geometrie

Kurzinformation

Qualifikationsphase (Q2)
Analytische Geometrie / Lineare Algebra
Einstieg in die Analytische Geometrie über die Koordinatenform
Ziel: Verständnisorientierter Zugang zur Koordinatenform
Dauer: 4 Stunden
Link zum Geogebra-Material für die Lernenden: https://www.geogebra.org/m/yxhwcktb
Weitere Materialien: Vier gewinnt 3D

Leitgedanke zur Aktivität

Nur ausgestattet mit den Kenntnissen der Sekundarstufe I wird in anschaulicher Weise die Koordinatenform der Ebenengleichung eingeführt (insbeondere die Parameterform der Ebenengleichung wird nicht vorasgesetzt). Anschließend lernen die Lernenden die Parameterform der Geradengleichung kennen: Als Schnitt zweier (nicht-paralleler) Ebenen. Dieser Zugang kann als Einstieg in die Analytische Geometrie / Lineare Algebra verwendet werden (das ist unsere Empfehlung). Die Darstellung der Geradengleichung in vektorieller Form ergibt sich als Schnitt zweier Ebenen, d.h. aus der Lösungsmenge eines unterbestimmten Gleichungssystems in 3 Unbekannten. Es ist aber auch möglich, ihn zu verwenden, um spezifisch die Koordinatenform der Ebenengleichung einzuführen.

Vorwissen und Voraussetzungen

Die SchülerInnen können...

Punkte eingeben (Schreibweise mit Kommata zwischen den Koordinaten)
das Koordinatensystem drehen (gedrückte Maustaste)
Punkte in Geradengleichungen einsetzen
unterbestimmte lineare Gleichugnssysteme lösen (2 Gleichungen mit 3 Unbekannten)

Erwartete Kenntnisse der Lehrperson:

Elementare Kenntnisse im Umgang mit Geogebra

Lernergebnisse und Kompetenzen

Kompetenzen, die durch den Materialeinsatz aufgebaut werden können: Die SchülerInnen...

nutzen Mathematikwerkzeuge zum Darstellen, Berechnen, Kontrollieren und Präsentieren sowie zum Erkunden (MSB NRW, 2023, S. 17, Arbeit mit Medien und Werkzeugen),
stellen Ebenen in Koordinatenform dar (MSB NRW, 2023, S. 25, Analytische Geometrie und Lineare Algebra (G)), indem sie aus 3 Punkten eine Ebenengleichung in Koordinatenform ermitteln,
verwenden Koordinatenformen von Ebenen zur Orientierung im Raum (MSB NRW, 2023, S. 25, Analytische Geometrie und Lineare Algebra (G)), insbesondere beschreiben sie für eine in Koordinatenform gegebenen Ebene die Lage im Koordinatensystem,
wenden ein algorithmisches Lösungsverfahren ohne digitale Mathematikwerkzeuge auf Gleichungssysteme mit drei Unbekannten an (MSB NRW, 2023, S. 25, Analytische Geometrie und Lineare Algebra (G)) und deuten die Lösungsmenge geometrisch, d.h. sie können die Schnittgerade zweier Ebenen angeben und den Schnittpunkt dreier Ebenen ermitteln.

Didaktische Hinweise zur Aufgabe

Wesentliche Intention des hier vorgestellten Zugangs ist, dass die algebraische Darstellung (Ebenengleichung in Koordinatenform) und die geometrische Deutung möglichst immer parallel gedacht werden. Ein besonderer Fokus liegt daher auf der Veranschaulichung der Problemstellungen. Gerade für den Einstieg hängt viel daran, dass die Lernenden sich die durch drei Punkte festgelegte Ebene vorstellen können. Daher ist es sehr hilfreich, ein 3D-Vier-gewinnt-Spiel "zum Anfassen" mit in den Unterricht mitzubringen. Handlsüblich sind 4x4x4-Spiele. Noch anschaulicher wird es, wenn größere "Spielfelder" (6x6x6 oder sogar 8x8x8) zur Hand sind. Das ist vielleicht eine Herausforderung für Bastler. (Alternativ kann ein solches Spiel in GeoGebra nachgebaut werden.) Trotz der besonderen Betonung der geometrischen Repräsentation müssen die Lernenden auch in der Lage sein, mit den algebraischen Darstellungen umzugehen. Hier sind aber verschiedene Wege denkbar: Je nach Vorwissen können die linearen Gleichungssysteme händisch (z.B. mit dem Gauß-Algorithmus) oder mit digitalen HIlfsmitteln (MMS) gelöst werden.

Aktivität 1 (15 min) | Finde Punkte in derselben Ebene

https://www.geogebra.org/m/sdp8q6av Diese Aktivität soll einen intuitiven Zugang ermöglichen. Die Lernenden finden weitere Punkte durch Mustererkennung und insbesondere dadurch, dass sie das dreidimensional Problem zunächst auf ein zweidimensionales reduzieren. Auf diese Weise werden schnell Punkte gefunden, die zur selben Ebene gehören, jedoch außerhalb des Spielfeldes liegen, z.B. (4 | 0 | 2). Im Spielfeld liegen z.B. noch die Punkte (0 | 1 | 1) oder (0 | 2 | 2). Es lassen sich außerdem viele Punkte finden mit nicht-ganzzahligen Koordinaten, was zwar nicht zum Spiel passt, aber mathematisch sinnvoll ist. Beliebig viele Punkte der Ebene lassen sich finden, wenn die Ebenengleichung gefunden ist:

Aktivität 2 (25 min) | Nur Durcheinander? Mitnichten!

https://www.geogebra.org/m/emuw9nwz Diese Aktivität soll das systematische Aufstellen von Ebenengleichungen unterstützen. Alle Gleichungen, die betrachtet werden sollen, lassen sich mit einer Ebenengleichung aufstellen, in der die Koeffizienten von

und

die Werte

oder

annehmen. Zur weißen Ebene in der ersten Aufgabe gehört die Gleichung

, was sich gut verbalisieren lässt: "Wenn ich in

-Richtung oder in

-Richtung einen Schritt nach vorne gehe, muss ich auch in

-Richtung einen Schritt nach oben gehen." Ist diese Ebenengleichung gefunden, findet man sofort weitere, die um eine oder mehrere Einheiten nach oben oder nach unten verschoben sind. Analog zu diesen Überlegungen findet man auch andere Ebenen, die zur obigen nicht parallel sind, z.B.

Aktivität 4 (15 min) | Ermittle Ebenengleichungen

https://www.geogebra.org/m/yygbmenq Hier sind die Lernenden aufgefordert, die Ebenengleichung in besonders einfachen Fällen aufzustellen. Hier können auch Strategien für das Aufstellen besprochen werden, z.B.

Ebene ist parallel zur -Achse = "-Koordinate ist egal" = kommt in der Ebenengleichung nicht vor.
"Wenn ich in -Richtung einen Schritt vor gehe, muss ich in -Richtung einen Schritt zurück gehen" = die Koeffizienten von und sind gleich.

Aktivität 3 (5 min) | 3D Vier gewinnt - Ebenencheck 1

https://www.geogebra.org/m/z7vspc37 Hier können die Lernenden ihr Verständnis der Aktivität Nur Durcheinander? Mitnichten! selbstständig überprüfen. Sie ist gedacht als GeoGebra-Classroom-Aktivität.

Aktivität 5 (20 min) | Von Geraden zu Ebenen

https://www.geogebra.org/m/yzhjfmxb Diese Aktivität bietet einen systematischen Weg an, um auch in etwas schwierigeren Fällen von drei Punkten zur Ebenengleichung zu gelangen.

Aktivität 4 (10 min) | 3D Vier gewinnt - Ebenencheck 2

https://www.geogebra.org/m/hcdsytzs Hier können die Lernenden ihr Verständnis hinsichtlich des Aufstellens von Ebenengleichungen selbstständig überprüfen. Sie ist wie der Ebenencheck 1 als GeoGebra-Classroom-Aktivität konzipiert. Die gesuchte Ebenengleichung in der ersten Aufgabe ist

Sicherung / Hausaufgabe

Ermittle die Gleichung der Ebene durch die Punkte A(1|0|1), B(0|1|1) und C(0|4|2) und gibt drei weitere Punkte an, die auf der Ebene liegen. Lösung: x+y-3z=-2 und z.B. D(4|0|2), E(-1|-1|0), F(-2|-3|-1)

Aktivität 5 (25 min): Gemeinsame Punkte zweier Ebenen

https://www.geogebra.org/m/mbyjeukf Ein unterbestimmtes Gleichungssystem mit drei Unbekannten und zwei Gleichungen wird als Schnitt zweier Ebenen gedeutet. An den Gleichungen ist sofort abzulesen, dass die Ebenen nicht parallel sind, dass sie sich also schneiden. Die Lösungsmenge liefert unmittelbar die Parameterform der Geradengleichung - selbst dann, wenn zuvor noch nicht einmal der Vektorbegriff bekannt ist. Dieser Ansatz folgt dem Vorschlag von Riemer, Schmidt & Leismann (2014).

Aktivität 6 (15 min): Übung: Schnitt zweier Ebenen

https://www.geogebra.org/m/qucmkrzj Diese Aufgabe stellt eine Übung zur vorangegangenen Aktivität dar. Die Darstellung im 3D-Grafikfenster bietet den Weg zur Überprüfung des Ergebnisses und verknüpft Algebra (LGS) und Geometrie (Gerade als Schnitt zweier Ebenen).

Aktivität 7 (15 min): Schnitt dreier Ebenen

https://www.geogebra.org/m/ymt2dhea Diese Aktivität führt einen Punkt als Schnitt dreier Ebenen ein. Dabei wird (insbesondere für Leistungskurse relevant) auch der Fall betrachtet, dass drei Ebenen sich nicht in einem Punkt schneiden, sondern in einer Gerade (im Beispiel für

Überprüfen des Lernerfolges

Um zu überprüfen, ob die SchülerInnen die Kompetenzen auch wirklich erreicht haben, sollten nicht einfach nur "Hieb- und Stichaufgaben" verwendet werden, weil dann die hier empfohlene starke Betonung des geometrischen Aspekts intellektuell unaufrichtig erscheinen würde. Stattdessen sollten während und nach der Unterrichtssequenz immer wieder Aufgaben angeboten werden, bei denen die Verzahnung von Geometrie und Algebra deutlich wird und ein Wechsel der Darstellungsform eingefordert wird.

Referenzen

Riemer, Wolfgang, Schmidt, Reinhard, Leismann, Daniel (2014): Mit Visualisierungen Vektorrechnung entdecken. In: MNU 67/6 (1.9.2014), S. 362-364. Neuß - Verlag Klaus Seeberger.