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Forma Quadrática das Cônicas.

QUAL É A CURVA?

Considere a equação geral fornecida pela expressão , queremos verificar os seguintes tópicos:

1. Qual é a curva representada pela equação? 2. É possível trocar "equação difícil em eixos fáceis" por "equações fáceis em eixos difíceis"? ou seja, há um novo par de eixos que põe esta expressão numa forma canônica mais simples? Tais questionamentos serão investigados e respondidos no decorrer dessa atividade.

FORMA QUADRÁTICA.

Manipulando os controles deslizantes. Sugestão: Duplique a aba do navegador para visualizar melhor a construção, e responder os itens a seguir.

Modificando apenas os controles deslizantes A, B e C, o que ocorre com a curva no plano?

Inserindo valores específicos nos parâmetros.

Qual é a curva que obtemos quando inserimos nos campos de entrada os parâmetros: A=3, B=-4, C=2, D=0, E=0 e F=-10? Houve rotação dos eixos?

Inserindo novos valores nos parâmetros.

Qual é a curva que obtemos quando inserimos nos campos de entrada os parâmetros: A=3, B=0, C=2, D=0, E=0 e F=-10? Houve rotação dos eixos coordenados?

AUTOVALORES E AUTO VETORES.

A matriz A vai ajudar a determinar a rotação de eixos que transforma uma equação do 2º grau, numa equação padrão que permite identificar qual é a curva. Autovalor: Um número real é um autovalor da matriz M, se existir um vetor não nulo tal que . Seja um autovalor da matriz M. Um vetor , é um autovetor de M relativo ao autovalor se . Para determinar seus autovalores, devemos resolver a equação a equação , onde é o traço de M, ou seja, é o produto da diagonal principal, e é o determinante.

Determinando os autovalores de uma matriz M (Polinômio característico).



Descreva o polinômio característico da matriz . Quais são os valores de e , se existirem?

Autovetores.

Para determinar seus autovetores, devemos resolver o sistema oriundo da equação matricial. Note que a matriz é dada por M={{a,b}, {c,d}}, seus autovalores já foram determinados, I é a matriz identidade de ordem 2, u é o vetor e 0 é a matriz nula. Se diferente de zero, então o sistema é impossível e determinado, com uma única solução (x=0 e y=0). Como desejamos vetores não nulos, logo detM=0. Lembre´-se que um autovetor nunca pode ser nulo. Sugestão: Não se assuste se o sistema linear para encontrar o autovetor for indeterminado, ele tem que ser indeterminado, senão a única solução seria x=y=0, o que não queremos.

Determine os autovetores associados a matriz . Lembre-se que e .

Videoaula do PROFMAT, sobre autovalores e autovetores.

Vamos fazer uma revisão de autovalores e autovetores.

Determine os autovalores e autovetores reais, se existirem, da matriz .

Construção para auxiliar no cálculos dos autovalores e autovetores.

MATRIZ DE ROTAÇÃO DA FORMA QUADRÁTICA.

Como vimos no início dessa atividade, a forma quadrática geral é dada por , porém os termos Dx, Ey e F, não geram grandes dificuldades, pois podemos completar os quadrados, daí teremos uma translação dos eixos. No Caso, o nosso objeto de estudo será a rotação dos eixos. Forma quadrática é uma função do tipo f(x,y)=Ax²+Bxy+Cy², na qual sua matriz é a matriz simétrica M={{A,B/2},{B/2,C}}. Teorema: Esta matriz sempre tem um para de autovetores ortonormais u1=(cos x, sen x) e u2=(-sen x, cos x) relativos a autovalores reais e . O teorema a seguir simplifica a forma quadrática f(x,y). Por um preço: Novas coordenadas. Seja f(x,y)=Ax²+Bxy+Cy². Considere um novo sistema X' e Y' cujos eixos OX' e OY' estão na direção de e (Autovetores de f). Tal que: . Sendo assim, a rotação de eixos OXY de um ângulo , cria um novo sistema OX'Y', note que o objetivo é eliminar o termo em xy, para facilitar a análise da cônica em estudo. Logo, vamos analisar as construções a seguir para entender o comportamento do termo em xy.

PARÁBOLA: Rotação e Parâmetro.

Rotacionando a parábola.

Qual a expressão matemática da parábola, quando é rotacionada por um ângulo de 90º e tem parâmetro p=1? E quando é rotacionada 180º com p=1?

Rotacionando a parábola.

Rotacione a parábola para que tenha um ângulo de 45º, continuando com p=1. O que você observou na expressão matemática em relação as modificações da questão anterior?

ELIPSE: Rotação e parâmetros.

Rotacionando a elipse.

Qual a expressão matemática da elipse, quando é rotacionada por um ângulo de 90º e têm parâmetros a=1 e b=2? E quando é rotacionada 180º, mantendo os mesmos parâmetros? Houve mudança em relação ao formato original?

Rotacionando a elipse.

Rotacione a elipse para que tenha um ângulo de 45º, mantendo os mesmos parâmetros. O que você observou na expressão matemática em relação as modificações da questão anterior?

HIPÉRBOLE: Rotação e parâmetros.

Rotacionando a hibérbole.

Qual a expressão matemática da hipérbole, quando é rotacionada por um ângulo de 90º e têm parâmetros a=2 e b=1? E quando é rotacionada 180º, mantendo os mesmos parâmetros? Houve mudança em relação ao formato original?

Rotacionando a hipérbole.

Rotacione a hipérbole, para que tenha um ângulo de 45º, mantendo os mesmos parâmetros. O que você observou na expressão matemática em relação as modificações da questão anterior?

Representação de curvas.

Que curva é representada por f(x,y)=3x²-4xy=-1? Sugestões: 1. Os eixos "difíceis" x'y' são as direções dos autovetores, cuja a equação "fácil" será ; 2. Os coeficientes A, B, e C estão associados a matriz simétrica no tópico "MATRIZ DE ROTAÇÃO DA FORMA QUADRÁTICA"; 3. Determinar os autovetores

Videoaula do PROFMAT sobre as formas quadráticas.

Reta final da atividade: Qual é a curva?

Utilizando os recursos algébricos descritos no decorrer desta atividade, identifique qual é a curva descrita pela equação .

ROTAÇÃO DE EIXOS: Auxilio no entendimento da questão anterior, caso não consiga respondê-la.