Pfeile vervielfachen
Zentrische Streckung
Gegeben sind die Originalfigur ABCD, das Streckungszentrum Z sowie der Eckpunkt A' der Bildfigur.
Jeder Eckpunkt der Originalfigur wird durch eine Gerade mit dem Streckungszentrum Z verbunden.
Der zugehörige Bildpunkt liegt auf dieser Geraden, jede Seite der Bildfigur ist zur entsprechenden Seite der Originalfigur parallel.
Bewege A' - auch über Z hinaus.
Stelle fest, welche Beziehung zwischen den Pfeilen von Z zu einem Originalpunkt und von Z zu seinem Bildpunkt besteht.
Aufgabe 1
Wie wird der Bildpunkt B' konstruiert, ohne seine Koordinaten zu berechnen?
Bei der zentrischen Streckung wurden die Koordinaten der Pfeile mit einer reellen Zahl r multipliziert.
Welche geometrischen Beziehungen bestehen zwischen und , wenn ?
Aufgabe 2a
Zeige: .
Da die Katheten der beiden rechtwinkligen Dreiecke im gleichen Verhältnis stehen, sind die beiden Dreiecke ähnlich.
Daher gilt auch: .
Da die Katheten paarweise parallel sind und die spitzen Winkel wegen der Ähnlichkeit paarweise übereinstimmen, sind die beiden Pfeile parallel.
Aufgabe 2b
Welche Bedeutung hat das Vorzeichen von r für die beiden Pfeile?
Zusammenfassung:
Ist , so gilt:
- ist zu parallel.
- hat die -fache Länge von .
- hat die gleiche Orientierung wie , wenn r positiv ist, und die entgegengesetzte Orientierung, wenn r negativ ist.
Aufgabe 2c
Zeige, dass umgekehrt Folgendes gilt: Sind und parallel, so gibt es eine reelle Zahl r mit .
Zurück zu den Eigenschaften der zentrischen Streckung:
Aufgabe 3
Der Faktor k, mit dem man multiplizieren muss, um zu erhalten, heißt Streckungsfaktor:
.
![[center][math]k\gt0[/math][/center]](https://www.geogebra.org/resource/z8yyen9b/NCrxQAx4zG8HVKGB/material-z8yyen9b.png)
![[center][math]k\lt0[/math][/center]](https://www.geogebra.org/resource/pqfqywzf/9ojtgq46vZucM9Ft/material-pqfqywzf.png)