E16 A cikloisok változatos világa
- Szerző:
- Szilassi Lajos
Anno és most...
Valaha minden papírboltban, játékboltban lehetett kapni azt a néhány fogaskerékszerű korongból álló spirográf nevű "játékot" amellyel ilyen csodálatos vonalakat lehetett rajzolni.
Most a GeoGebra eszköztárának a felhasználásával adjuk olvasóink kezébe e rajzok készítésének a lehetőségét, kicsit megvilágítva a téma technikai és matematikai hátterét is.
Néhány elnevezés
Általában cikloisnak nevezzük egy "nyomot hagyó" pontnak a pályáját, amelyet egy egyenesen, vagy körön - gördülő kör valamely rögzített pontja ír le.
Anélkül, hogy itt etimológiai részletekbe bocsátkoznánk (ciklois: epi∼ , hipo∼ , nyújtott ∼ , csúcsos ∼ , hurkolt ∼ ) szavak jelentéséről, vizsgáljuk meg alaposan (a csúszkák és kapcsolók kipróbálásával) az alábbi appletet, amely egy R sugarú körön gördülő r sugarú körhöz rögzített pont pályáját (mértani helyét) állítja elő.)
Az önálló felfedezés örömét nyújtva, javasoljuk olvasóinknak hogy először "próbálják ki" az applet összes lehetőségét, a "hogyan" és "miért" kérdéseket későbbre halasztva.
Vegyük észre, hogy...
- A kapott zárt folytonos ciklois vonalat egyértelműen előállítja az álló kör R és a gördülő kör r sugara, a gördülő körrel együtt mozgó d szakasz - amelynek a végpontja állítja elő cikloist - valamint a +?- jelű kétállapotú kapcsoló, amely a körök kölcsönös helyzetét szabályozza.
- A csúszkákkal előállított R és r értéke egész szám. Ez biztosítja, hogy a kapott vonal-alakzat zárt. (Gondoljuk arra, hogy minden fogaskerék fogainak a száma egész szám).
- A keletkező ciklois egymással egybevágó részeinek - csúcsos cikloisnál a csúcsok - száma: Rm, ahol R/r =Rm/rm = , és Rm , rm . relatív prímek.
- Ha a kezdő helyzetből kiindulva az álló kör O középpontja körül rmα szöggel fordul el a gördülő kör K középpontja, akkor ezalatt a gördülő kör Rmα szöggel fordul el a K pont körül. A pontok nevei a szerkesztés jelölőnégyzet bekapcsolásakor jelennek meg.
- Ha hipocikloist rajzolunk, vagyis az álló és gördülő kör belülről érinti egymást az E pontban, akkor K-nak negatív irányba kell forognia ahhoz az EKD szög pozitív maradjon;
- A ciklois-vonalat rajzoló D pont a K körül minden esetben pozitív irányban forog.
- Az E érintési pont ugyanakkora R*rm α = Rm*rα utat tesz meg a kiindulás E0 pontjától mind az álló, mind a mozgó körön, Tehát a gördülés valóban csúszásmentes.
- Ha "fogaskerekekkel" jelöljük a csúszás mentes gördülést, akkor az álló körön s*Rfk , a gördülőn s*rfk lesz a fogaskerekek száma, ahol az Rfk=s*R és rfk=s*r , és s≥min(R,r).
- Ha adott az α szög, ebből meg tudjuk szerkeszteni mind az rmα mind az Rmα szöget, így meg tudjuk szerkeszteni a ciklois - egyetlen - α hoz tartozó pontját. Maga a ciklois vonal nem szerkeszthető,...
... de trigonometrikus függvényekkel egyértelműen megadható.
Az alábbi applet bemenő adatai megegyeznek a fentivel, az eltérés mindössze annyi, hogy a cikloist egyetlen képlettel állítottuk elő, továbbá elhagytuk a görbe - mint mértani hely - előállításához szükségtelen részeket.
Itt e=1 vagy e=-1 attól függően, hogy epi- vagy hipocikloist állítunk elő, továbbá m=LNKO(R,r).
A GeoGebra paraméteres alakban megadott sík- és térgörbék előállítására a GörbeParaméteres(x(t),y(t),t,t1,t2) parancs ad lehetőséget. paraméteres sik- és tér görbék előállítására itt és itt láthatunk példát.
Ciklois trigonometrikus alakja
Két kör és egy ciklois
Szükség van-e arra, hogy a fenti cikloisokat két, egymáson gördülő körrel állítsuk elő?
Az alábbi appletet alaposan megvizsgálva kiderül, hogy nincs.
Legyen adott az a és b sugarú K_aill. K_b középpontú kör, amelyen körbe fut az A ill. B pont úgy, hogy e pontok kerületi sebessége legyen egyenlő. (Mint ahogy például egy kocsi kerekei forognak, ahol - esetleg - a kerekek mérete különböző.
Itt most a k csúszka az (AB) egyenesnek azt a P pontját állítja elő, amelyre AP =k AB, ahol AB és AP előjeles szakaszokat jelent.
A P pont pályáját az appletben leírt paranéteres görbével adtuk meg, amely - úgy tűnik - ugyancsak ciklois. Olvasóinkra bízzuk annak a belátását, hogy ezzel a P pont valóban epi- ill. hipocikloist állít elő attól függően, hogy az A és B pont azonos, vagy ellentétes irányban forog-e. (Ez most is a +?- jelű jelölőnégyzettel szabályozható.
A képletben szereplő e érték a B pont forgásának az A forgásához viszonyított irányát adja meg, m=LNKO(a,b) , sa és sb pedig a mozgás α=0 -hoz tartozó kezdőpontokat határozza meg, amelyet itt a ▶ jelű pontokról indul. (Mivel a két kör nem érinti egymást, ezek a "start" pontok függetlenek egymástól.
Vizsgáljuk meg, hogy...
- Az "Animáció" csak szemlélteti a ciklois előállítását, a görbe képlete ettől független.
- Miként függ a és b megadásától a ciklois egybevágó íveinek -"füeinek" - a száma? Ez ugyanis eltér az első appletben látottaktól.
- Függ-e a kapott görbe alakja a ▶ jelű - egérrel mozgatható - kezdőpontok megválasztásától.
- Függ-e a körök Ka ill Kb középpontjainak megválasztásától a kapott ciklois alakja? Hol a ciklois középpontja? Lehet-e a két kör metsző, vagy koncentrikus?
- Mi történne, ha a a k_a és k_b vezérköröket a térben, de egymással párhuzamos síkokban helyeznénk el? És ha e körök síkjai sem lennének páruzamosak?
- Mitől függ, hogy lapos, csúcsos, vagy hurkolt cikloist kapunk? Milyen speciális esetben kapnánk csúcsos cikloist?