４。複素数と２次方程式
１.２次方程式
＜解の公式＞
実数係数の２次方程式[quadratic equation]ax2+bx+c=0(aは0でない）の解は
（理由）平方完成による。
実数係数の２次方程式ax2+2b'x+c=0(aは0でない）の解は
（理由) 上式のbに2b'を代入すると、√の中を４でくくることができる。
それを√の外に２として出す。
すると、分子のｂ'，√、分母にそれぞれ、2があるから、約分する。
（例）ｘ2+x+1=0の解は？
とおくと、
（例）x3=1の解は？
x3-1=(x-1)(x2+x+1)=0から、ｘ＝1,
＜判別式と解の分類＞
実数係数の２次方程式ax2+2b'x+c=0(aは0でない）で、
判別式（D＝b2-4acまたは、D/4=b'-acは解の公式の√の中の部分にあたる。）
「判別式が正」⇔「２つの実数解（異なる解）」
「判別式が０」⇔「１つの実数解（重複解）」
「判別式が負」⇔「２つの虚数解（共役複素数解）」実数の範囲では解なしで、複素数の範囲では解あり。
このとき、解は判別式に−１をかけてとかける。
（例）解の分類をしよう。ｘ2+3x+2=0、ｘ2+2x+1=0、ｘ2+x+2=0
D=9−4･2=1>0で２実数。D/4=1−1=0で重解。D=1−4･2<0で２虚数解
判別式は実数係数の２次方程式にしか使えない。係数が複素数のときは、実部と虚部にわける。
（例）「２次方程式(1+i)x2+(a-i)x+2(1-ai)=0が実数解をもつ実数定数a」は？
iについて整理する。(x2+ax+2)+(x2-x-2a)i=0となり、実数ｘについてx2+ax+2=x2-x-2a=0
(a+1)x+2(1+a)=0 だから、(a+1)(x+2)=0 a+1=0 またはx=-2。
a+1=0なら、x2-x+2=0 x=(1±√1-8)/2 は虚数となり実数解ではないからダメ。
x=-2のときｘは実数解。x2+ax+2=4-2a+2=6-2a=0から、a=3となる。
＜複素数解と因数分解＞
数の範囲を実数から複素数にひろげると、多項式の因数分解が１次式の積に分解しきることができる。
たとえば、ｘ4ー１＝(x2-1)(x2+1)=(x+1)(x-1)(x2+1)の先にいける。
x2+1=x2-(-1)=x2-i2=(x+i)(x-1)と分解できるので、ｘ4ー１=(x+1)(x-1)(x+i)(x-i)と因数分解できる。
（例）「m2+n2を複素数の範囲で因数分解」すると？
+n2=-(-1)n2=-(n i)2と置き換えると、 と分解できる。
（例）「(m2+n2)(p2+q2)=(mp-nq)2+(mq+np)2が成り立つ」理由は？
左辺を因数分解してから、かけ算のペアを変えてみよう。
=
=(mp-nq)2+(mq+np)2
２．解と式の関係
＜解と係数の関係＞
２次方程式ax2+bx+c=0(aは0でない）の解をα、βとすると、
a(x-α)(x−β)=ax2-a(α+β)x+aαβ＝0と係数を比較して、となる。
ただし、２つの解α、βは異なるとは限らない。
ただし、２つの解α、βは実数とは限らない。
つまり、解がどんなときでも使える。
（例）x²+x+1=0のとき、α＋β=-1、αβ=1。
（例）1+2i,1-2iを解とする２次方程式で２次の係数が１のものは？
1次の係数は解の和２にマイナスをつけて-2、定数項は12+22=5。
（例）とするとき、次の値は？
の共役複素数で、x²+x+1=０の解だから、。
。
＜解の正負と係数の関係＞
２実数解をもつとき、判別式が非負。
２解とも正は、解の和、積がともに正。
２解とも負は、解の和が負で、積は正。
正と負の２解なら、積が負。
（例）ｘ²＋bx+1=０が２実数解をもち、２解とも正は、
D＝b²-4>=0で、α＋β=-b＞0から。
（例）ｘ²＋bx+1=０が２実数解をもち、２解とも負は、
D＝b²-4>=0で、α＋β=-b＜0から。
（例）ｘ²＋x+ｃ=０が２実数解をもち、正と負を１つずつもつは、
αβ=ｃ<0。（ｃ＜０ならD＝１−４c＞０）
（例）２つの放物線ｙ＝ｘ²とｙ=-(x-p)²+p+2の２交点のｘ座標α、βについて、
E=(α−β)²の値の範囲は？
２交点があるなら、x²＋(x-p)²-(p+2)=2x²-2px+p²-p-2=0の
D/4=p²-2p²+2p+4=-p²+2p+4=-(p-1)²＋5=f(p)とする。
ｙ＝f(p)の頂点は(1,5)であり正だから、ｙは５以下で正。
解と係数の関係から、α+β=p、2αβ=p²-p-2だから、
E=(α+β)²-4αβ=p²-2(p²-p-2)=-p²+2p+4=D/4。
したがって、Eも５以下で正。
（例）「a>0なら、２次方程式f(x)=x2+ax-1=0, g(x)=x2-x-a=0がともに２実数解をもち、
f=0の解の１つだけがg=0の解の間にある」理由は？
a>0なら判別式Df=a2+4、Dg=1+4aともに正だから、ともに２実数解をもつ。
g=0の２解をα,βとすると、α2=α-a,β2=β-a、α＋β=1,αβ=-aの４式によって、αとβの式の次元下げとaの式化ができる。この２解を他の関数fに代入すると、f(α)とf(β)が異符号になれば、この解の間でf=0がｘ軸と交わる。f(α)f(β)=(α2+aα-1)(β2+aβ-1)=.......=-a(a2+3)はaが正なら、負になるから交わる。
＜極形式と２次方程式＞
解と係数の関係は、虚数の場合も成り立つので虚数解から２次方程式を作ることもできる。
２つの虚数解は共役だから、※極形式でα＝ｒcosθ＋ｒsinθ iとすると、β＝ｒcosθ -ｒsinθ i。
α+β=2rcosθ、αβ＝r²
だから、２次方程式はｘ²-2rcosθｘ＋r²＝０となる。
特に、θ＝０のときは、cosθ＝１だから、
２次方程式はx²-2rx+ｒ²＝(x−r)²=０
特に、θ＝πのときは、cosθ＝−１だから、
２次方程式はx²＋2rx+ｒ²＝(x＋r)²=０
特に、θ＝π/2のときは、cosθ＝0だから、
２次方程式はx²+ｒ²=０
2次関数にすると、グラフのｙ切片は必ずｒ²になる。
＜※極形式＞
複素数は実部とｘ軸、虚部をｙ軸とすると、座標平面における。
座標平面にある点Z（ｘ，ｙ）はベクトルのように、原点Oと結ぶことができまる。
Zの位置は、OZの大きさをｒ、
OZとx軸の正の方向から反時計回りに測った角θで決まる。
ｚ＝ｒ(cosθ+sinθ i)とかける。
（理由）
OZをｒで割った長さORは１なので、Rは単位円周上にある。
だから、Rは(cosθ,sinθ）とかける。
ということは、OZはそれをｒ倍しているだけだから、（ｒcosθ, r sinθ)という座標になる。