２。等式・不等式の証明
１.ｘについての恒等式
＜ｘについての恒等式＞
すべてのｘについて成り立つ多項式f(x)=g(x)を、変数ｘについての恒等式[identity]という。
係数比較法：fとｇの対応する次数ごとの係数は等しい。
数値代入法：fとｇの(x)に0,1,2,3,4など、小さい数を入れても左辺と右辺の値は等しい。
（例）「a(x−1)(x−2)+b(x−1)+c=x2−3x+1が恒等式となるようなa,b,c の値」は？
（数値代入法）
x=0のとき、2a-b+c=1
x=1のとき、c=-1
x=2のとき、b+c=-1
以上より、a,b,c=(1,0,-1)が必要条件。
逆にこの条件から、(x-1)(-2)-1=x2-3x+1は成り立つから十分である。
（係数比較法）
左辺を展開すると、ax2+(b-3a)x+2a+c=x2-3x+1。次数の同じ係数が等しいことと同値。
a=1,b-3a=-3,2a+c=1は、a=1,b=0,c=-1と同値。
（例）「2x-4y+5z=3, 3x+y+4z=1となるx,y,zでpx2+qy2+rz2=2が恒等式となるp,q,rの値」は？
変数を１本化して数値代入しよう。係数の大きなｚを数値とみなしてx,yについて解く。
2x-4y=3-5zに3x+y=1-4zの４倍12x+4y=4-16zをたす。14x=7-21zから、2x=1-3z、３倍し6x=3-9z。
これを3x+y=1-4zの２倍6x+2y=2-8zに代入する。3-9z+2y=2-8z。2y=z-1
恒等式候補を4倍しp(2x)2+q(2y)2+r(2z)2=8 。p(1-3z)2+q(z-1)2+r(2z)2=8
z=0ならp+q=8、z=1なら4p+4r=8つまりp+r=2、z=-1なら16p+4q+4r=8つまり4p+q+r=2。
これから、p=(2-(8+2))/2=-4。q=8-(-4)=12,r=2-(-4)=6。(p,q,r)=(-4,12,6)
２．等式の証明
＜式A=Bを変形して証明する＞
・Aを変形してBにする。または、その逆。
・Aを変形してCにし、Bを変形してCにする。
・A−Bを変形して０にする。
・ｘｙｚの少なくとも１つは０の証明は、ｘｙｚ＝０の証明をする。
・比例式や分数式は値＝ｋとおいてみる。
・変形のときに、文字種を維持するか、減らして代入するかの方針を決めよう。
（例）「a+b=1ならば、a2-b2=2a-1」の理由は？
（左辺→右辺）左辺＝(a+b)(a-b)=a-b=a-(1-a)=2a-1＝右辺
（左辺、右辺→同一式）左辺＝(a+b)(a-b)＝a-b。右辺＝2a-(a+b)=a-b。したがって、左辺＝右辺。
（左辺ー右辺＝０）左辺ー右辺＝a2-b2-2a+1=(1-a)2-b2=b2-b2=0
（別解）b=1-aを左辺に代入すると、
a²-(1-a)²＝a²-1+2a-a²＝2a-1(aだけの式）
（例）「a+b=1ならば、a3+b3+3ab=1」の理由は？
左辺ー右辺＝a3+b3+3ab-1=(a+b)3-3ab(a+b)+3ab-1=1-3ab+3ab-1=0。
（例）「a+b+c+d=0ならば、a3+b3+c3+d3=3(a+d)(b+d)(c+d)」
c+d=-(a+b)だから、(c+d)3=-(a+b)3
左辺ー右辺=
==
（例）「a+b+c=3,a3+b3+c3=3abcならa=b=c=1に限る。」理由は？
(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)＝a3+b3+c3-3abc、(a+b+c)2=a2+b2+c2+2(ab+bc+ca)を使う。
a+b+c=3で、積が０だから、a2+b2+c2-ab-bc-ca＝０
a2+b2+c2-ab-bc-ca＝1/2{(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2}=0から、a=b=c。a+b+cだから、a=b=c=1。
（例）「a+b+c=1,abc=ab+bc+caのとき、a,b,cの少なくとも１つは０」理由は？
c=1-(a+b)となるので、abc=ab(1-(a+b))=ab-ab(a+b)=ab+c(a+b)となり、c=-abでもある。
だから、ab+1-(a+b)=-c+c=0となる。すると、(a-1)(b-1)(c-1)=(ab-(a+b)+1)(c-1)=(ab+1-(a+b))(c-1)=０
したがって、a,b,cの少なくとも１つは１になる。
（別解)解と係数の関係から、a,b,cが解の３次方程式x3+px2+qx+r=0の係数はp=-1,q=-rだから、
x3-x2-rx+r=(x2+r)(x-1)=0。だから、x=1が解なので、a,b,cのどれか１つは１である。
（例）「次数の高い順に係数が1,-4,a,1,bとなる４次式がｘの整式の平方になるときのa,bの値」は？
xの整式の係数を1,p,qとして２乗展開した係数は同次部分が同じ位になる係数分離法で筆算する。
(1,p,q)(1,0,0)+(1,p,q)(0,p,0)+(1,p,q)(0,0,q)=(1,p,q,0,0)+(0,p,p2,pq,0)+(0,0,q,pq,q2)＝(1,2p,2q+p2, 2pq,q2)
となり同じ次数の係数を比較する。
2p=-4からp=-2, 2q+p2=2q+4=a, 2pq=-4q=1から、q=-1/4。b=q2=1/16。a=2q+4=4 -1/2=7/2。
(a,b)=(7/2, 1/16)。
（例）「x,y,zが2(y+z)/x=2(z+x)/y=2(x+y)/zをみたすときのこの分数式の値」は？
分数式＝2ｋとおくと、y+z=xk, z+x=yk,x+y=zkとなる。
両辺の和は2(x+y+z)=k(x+y+z)だから、x+y+z=0かk=2。
x+y+z=0なら2(x+y)/z=2(-z)/z=-2となり。k=2なら2k=4となる。だから、-2または４。
３．不等式の証明
＜ 「大＞小」の証明＞
・差＝大ー小＞０の証明をする。
・小も大も正のときは２乗にして大小比較をする。
・証明された式を使う。（一般的な定理や、前問利用）
・式を変形して関数の最大、最小を利用する。
（例）非負の実数について、「相加平均は相乗平均以上」である。
a,bが非負なので、ルートも非負。それぞれ、x,yとおく。
を証明すればよい。左辺ー右辺の２倍＝x2+y2-2xy=(x-y)2は０以上。
相加平均が相乗平均以上であることは、証明済みとして、他の不等式問題に利用できる。
「＝」が成り立つのはx-y=0つまり、x=y(a=b)のときに限る。
（例）シュワルツの不等式(a2+b2)(x2+y2)>=(ax+by)2
左辺ー右辺＝
「＝」が成り立つのはay-bx=0つまり、x=yのときに限る。つまり、a:b=x:yのとき。
2次元を多次元にしたコーシーシュワルツ不等式は有名。
（例）x,yが正でx＋y＝１のとき、次の最小値は？(1) (2)
(1) f(x)=xy=x(1-x)=-x2+x=-(x-1/2)2+1/4<=1/4（頂点の座標から）1/xy>=1/(1/4)=4。
(2) 展開すると、分母はxy、分子はxy+x+y+1=xy+2。だから、1+2･1/xy>=1+2･4＝９。
（例）a,b,cが正の実数のとき、
積xy=1なら相加平均が相乗平均以上であることから、x+y>=2･1=2で、和は２以上となる。
（例）「a,b,cが異なる正実数のとき、次の４数を大きい順にならべよう。
P=,Q=,R=,S=」
特殊例でも大小関係は不変なので、a,b,c=(3,2,1)として大小関係を確定する。
P=6･(9+4+1)=84, Q=6･(6+2+3)=66, R=3(27+8+1)=108, S=9･3･2･1=54だから、大きい順にR,P,Q,S。
隣接する２数の大小関係は３つあるから、３つの不等式を証明すればよいね。
(P-Q)/(a+b+c)=
Q-S=3abc+ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)-3abc-2abc-2abc-2abc
=ab(a+b-2c)+bc(b+c-2a)+ca(c+a-2b)=ab((a-c)+(b-c))+bc((b-a)+(c-a))+ca((c-b)+(a-b))
=
R-P=
以上から、大きい順にR,P,Q,Sとなる。