１２。三角関数の合成
１.合成して正弦関数に
＜実験＞
cos45°＝sin45°＝1/√2により、
sin(A+45)=sinAcos45°+cosAsin45°=1/√2(sinA+cosA)だから、
sinA+cosA=√2sin(A+π/4)
cos60°=1/2, sin60°=√3/2により、
sin(A+60)=sinAcos60°+cosAsin60°=(1sinA+√3cosA)/2だから、
1sinA+√3cosA=2sin(A+π/3) （)
＜合成sinの一般化＞
cosB=p=a/r, sinB=q=b/r (r²=a²＋b²）のとき、
sin(A+B)=sinAp+cosAq=(a sinA + b cos A) /rだから、
K=a sinA + b cosA = r sin(A + B) ()となる。
Kの値は合成によって絶対値がｒ以下とわかる。
（例１）a,b=(1,√3)ならr＝2となり、cosB=1/2、sinB=√3/2より、B=π/3
sinA+√3cosA=2sin(A+π/3)
（例２）a,b=(√3,1)なら例１のB=π/3のcos,sinが入れ替わり、B=π/2-π/3=π/6
√3sinA+cosA=2sin(A+π/6)
（例３）a,b=(1,1）ならr=√2となり、cosB=sinB=√2/2より、B＝π/4
sinA+cosA=√2sin(A+π/4)
（例４）a,b=(-1/2,1/2）ならr=√2/2となり、cosB=-√2/2,sinB=√2/2で、B=π-π/4=3/4π
-1/2sinA+1/2cosA=√2/2sin(A+3/4π)
ピタゴラスで斜辺ｒを求めて合成しよう。
２.合成して余弦関数に
＜実験＞
cos45°＝sin45°＝1/√2により、
cos(A-45)=cosAcos45°+sinAsin45°=1/√2(sinA+cosA)だから、
sinA+cosA=√2cos(A-π/4)
cos60°=1/2, sin60°=√3/2により、
cos(A-60)=cosAcos60°+sinAsin60°=(√3sinA+1cosA)/2だから、
√3sinA+1cosA=2cos(A-π/3) （)
＜合成cosの一般化＞
cosB=p=a/r, sinB=q=b/r (r²=a²＋b²）ならば、
cos(A-B)=cosAp+sinAq=(b sinA + a cos A) /r
K=b sinA + a cosA = r cos(A - B) ()
Kの値は合成によって、絶対値がｒ以下とわかる。
B+C=π/4とすると、
また、cos(A-C)=cosAcosC+sinAsinC=cosAsinB+sinAcosB=sin(A+B)となる。
これから、合成cosの決定方法がわかる。
sinA,cosBにかける係数を入れ変えて合成関数 r sin(A+B）を作る。
次に、C=π/4-Bを求めて、rcos(A-C)とすればよい。
（例）a,b=(1,√3)ならr＝2となり、cosB=1/2、sinB=√3/2より、B=π/3
√3sinA+cosA=2cos(A-π/3)
（例）a,b=(1,1）ならr=√2となり、cosB=sinB=√2/2より、B＝π/4
sinA+cosA=√2cos(A-π/4)
３．三角関数の数式の最大最小値
＜合成関数の利用＞
（例）「y=√3sinx-cosx（ｘは２π以下の非負実数）の最大値と最小値」は？
(a,b)=(√3,-1)から、r=2。cosB=√3/2,sinB=-1/2。
サインコサインともに正になるのは-B=π/6。B=-π/6。
y=2sin(xー1/6π)。x-1/6π=π/2からx=2/3πで最大２、ｘ=2/3π+π=5/3πで最小−２。
（例）「y=4sinx+3cosx（ｘは２π以下の非負実数）の最大値と最小値」は？
(a,b)=(4,3)から、r=5。cosB=4/5,sinB=3/5。y=5sin(x+B)。最大5、最小−5。
（例）「y=1/2sinx-√3cos²(x/2)（ｘはπ以下の非負実数）の最大値と最小値」は？
cos²(x/2)=(cosx+1)/2から、y=1/2sinx-√3/2cosx-√3/2
(a,b)=(1/2,-√3/2)から、r=1。cosB=1/2,sinB=-√3/2。B=-π/3。
y=sin(x-π/3)-√3/2
xが０以上π以下だからsin関数の変数x-π/3は-π/3以上2/3π以下である。
この範囲の中にsin関数が最大となるπ/2はあるが、最小となる3/2πはない。
変数x-π/3=π/2のとき、つまり、x=5/6πのときy=1--√3/2が最大値。
変数x-π/3の負の最小値＝-π/3。x=0のとき、y=-√3/2-√3/2=ー√3が最小値。
＜２次関数の最大最小の問題に還元する＞
関数の種類をへらし数式の一部などをｔなどとおき、ｔの関数f(t)にする。
２次関数f(t)の頂点とｔの範囲の両端で最大・最小になる可能性がある。
＜sinxかcosxをｔとおく場合＞
（例）「y=４sin²x-4cosx（ｘは2π以下の非負実数）の最大値と最小値」は？
cosx=tとおくと、
f(t)は上に凸。 tの絶対値が１以下で、t=-1/2は変域にあり、軸は変域の負によっている。
◇ f(1)=-4-4+4=-4が最小値。（cosｘ＝１からx=0のとき）
◇ 頂点でf(-1/2)=５が最大値（cosx=-1/2からｘ＝2/3π、4/3πのとき）
（例）「y=cos2x-2cosx+3（ｘは2π以下の非負実数）の最大値と最小値」は？
cosx=tとおくと、
f(t)は下に凸。tの絶対値が１以下で、t=1/2は変域にあり、軸は変域の正によっている。
◇ f(-1)=2-2(-1)+2=6が最大値。（cosｘ＝-１から、x=πのとき）
◇ 頂点でf(1/2)=3/2が最小値。（cosx=1/2からｘ＝1/3π、5/3πのとき）
（例）「y=cos2x-4sinx-3（ｘは2π以下の非負実数）の最大値と最小値」は？
sinx=tとおくと、
f(t)は上に凸。tの絶対値が１以下で、t=-1は変域にあり、軸は変域の負によっている。
◇ 頂点でf(-1)=0が最大値。（sinｘ=-1からx=3/2πのとき）
◇ f(1)=-2(1+1)²=-8が最小値。（sinx=1からｘ＝1/2πのとき）
＜sinx+cosxをｔとおく場合＞
（例）「 （ｘは2π以下の非負実数）の最大値と最小値」は？
sinx+cosx=√2sin(x+π/4)=tとおくと、
√2sinxcosx=となるから、
f(t)は下に凸。tの絶対値が√2以下で、t=-√2/2は変域にあり、軸は変域の負によっている。
◇ 頂点でf(-√2/2)=が最小値。
( √2sin(x+π/4)＝-√2/2から、sin(x+π/4)=-1/2。x+π/4=7/6π,11/6πのとき、
つまりx=(7/6-1/4)π、(11/6-1/4)π=11/12π、19/12πのとき)
◇ f(√2)=(2-1)/√2+√2=が最大値。
(√2sin(x+π/4)=√2から、sin(x+π/4)=1。x+π/4=π/2,つまりx=π/4のとき)