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4次までの対称群の行列表現

二次の対称群S2。元は2個でeと(12)。

3次の対称群S3。元の数は3!=6。

3次の交代群A3

次の交代群は巡回群(一つの元から全ての元が生成できる群)で、さらに3次の直交行列になっている。 上のS3の正規部分群になっている。 なお、上の図では(12)=213はD1に、(12)(23)=231はE1に対応している。

3次の交代群A3

4次の対称群S4

3次までの対称群は簡単に計算できる。 でも、4次となると元の数は24個となり、手で計算しようという勇気が出ない。 そこで表計算を使って表を作ると簡単にできる。 左の表は行列を作るためのもの。 この表の右下を見ると、群表が出てくる。 少し色分けしておいた。 行列と置換群は変換された結果とそのまま自然に対応する。 例えば、(23)=1324はU25に、(23)(34)=1342はV25に対応している。

4次の対称群S4。元の数は4!=24個ある。表の右下の方を見てみよう。

S4の部分群の一つ。4次の直交行列。S4の部分群はいくつもあるので探してみよう。

クラインの4元群。S4の正規部分群。