GeoGebra

Rektangelets kvadratur og andre kvadraturer

Jump to: navigation, search

Contents

Innledning

Å finne kvadraturen til et flatestykke vil si å konstuere(med passer og linjal) et kvadrat som har samme areal som flatestykket.[1]. Slike problemer har opptatt matematikere i mer enn 2000 år og ved å arbeide deg i gjennom denne siden, vil du få en forståelse hva dette går ut på.

Flatestykket som vi skal finne kvadraturen til kan være en kjent figur som rektangel, trekant, femkant osv. eller noe mye mer komplisert og sammensatt. Å finne kvadraturen til et kvadrat, er ganske enkelt; det er bare å konstruere en nøyaktig kopi av kvadratet. Vi starter derimot med å finne kvadraturen til den figuren som kanskje ligner mest på kvadratet; nemlig rektangelet.

Rektangelets kvadratur

Rektangelets kvadratur

Konstruksjonen til høyre viser kvadraturen til rektangelet \,ABCD. Når vi senere skal finne kvadraturen til andre figurer, vil vi se at alle disse konstruksjonene bygger på denne konstruksjonen. Det er derfor særlig viktig at vi forstår hvorfor kvadratet \,CFGH har samme areal som rektangelet \,ABCD. Å åpne det neste dynamiske arbeidsarket kan være en god begynnelse for å se disse sammenhengene.


  • Htm.gif [2] av Torger Nilsen

Det dynamiske arbeidsarket som vi nettopp har sett på, gir oss mulighet til å undersøke omlag 2500 forskjellige rektangler. Når det ser ut til at konstruksjonen gir rektangelets kvadratur i hvert enkelt tilfellet, virker det ganske overbevisende, men det er likevel mange tilfeller vi ikke har undersøkt; for eksempel et rektangel med lengden a=\,3.05 og bredden b=\,2.05. Du kan akseptere de 2500 tilfellene som godt nok for deg og med stort utbytte gå videre til det neste avsnittet om trekantens kvadratur. Det er likevel å anbefale at du gjennomfører et bevis som omfatter alle mulige rektangler. Da først kan vi slå fast at konstruksjonen vår faktisk gir rektangelets kvadratur.

Første bevis

Vårt første bevis bygger på stoff som du finner på følgende side: [3]. Det arbefales derfor at du studerer stofffet på denne siden og spesielt merker deg konstruksjonen gir kvadratroten til et produkt.

Siden DB'\,=a+b følger av ovennevnte henvisning at CH=\sqrt{a\cdot b} som igjen gir CH^2\,=ab. Herav følger at kvadratet \,CFGH er kvadraturen til rektangelet \,ABCD.

Andre bevis

Ved å gå inn på neste htm-fil vil du ledes fram skritt for skritt.

  • Htm.gif [4] av Torger Nilsen

Konstruksjonsforklaring

Hvis du har lyst til å gjøre disse konstruksjonene på egenhånd og får problemer, kan du eventuelt gå inn på neste htm-fil og få tips fra konstruksjonsforklaringen.

  • Htm.gif [5] av Torger Nilsen

Trekantens kvadratur

Trekantens kvadratur

Kvadratet \,FIJH som du ser på figuren ti l høyre, har samme areal som trekanten \triangle ABC i samme figur og er derfor kvadraturen til trekanten. Hvordan kan vi konstruere en slik sammenheng? Det kan du forsøke nå.

  • Oppgave

Åpne en ny GeoGebra-fil. Tegn en vilkårlig trekant \triangle ABC og konstruer kvadraturen til trekanten.

Hint: Konstruer først et rektangel med samme areal som trekanten. Kvadraturen til trekanten blir dermed kvadraturen til rektangelet.

Hvis du skulle få problemer, kan du enten studere konstruksjonsforklaringen i neste htm-filen; Htm.gif [6] eller arbeide deg i gjennom følgende dynamiske arbeidsark: Htm.gif [7]

Firkantens kvadratur

Vi har til nå funnet kvadraturen til to firkanter, kvadratet og rektangelet, men det finnes uendelige mange firkanter som verken er rektangler eller kvadrater. Disse skal vi nå finne kvadraturen til.

Vi bruker samme strategi som da vi fant trekantens kvadratur. Klarer du å finne et rektangel som har samme areal som firkanten, er det meste gjort. Det er dette som er utfordringen når du åpner neste htm-fil:

  • Htm.gif [8] av Torger Nilsen

Hvis dette ble vanskelig, kan du med fordel studere konstruksjonsforklaringen som du finner i htm-filen

  • Htm.gif [9] av Torger Nilsen


Femkantens kvadratur

Vi er nå klar til å ta enda en skritt videre. Å finne femkantens kvadratur er ikke så mye forskjellig fra de tidligere kvadraturene som vi har arbeidet med. Det medfører imidlertid mye mer konstruksjonsarbeid og er dermed tidkrevende. Det er også lett å miste oversikten fordi det blir mange punkter og linjer. Et tips kan derfor være at en som arbeidet skrider fram, sørger for å skjule alle elementer som en ikke har bruk for videre.

Som du vil se i det neste dynamiske arbeidsarket, vil Pytagoras setning spille en svært viktig rolle. Pytagoras setning blir her brukt til å addere to kvadrater og summen blir også et kvadrat. Å bruke Pytagoras setning slik er ikke så godt kjent i norsk skole, men kulturhistorisk har denne bruken av setningen hatt stor betydning.


  • Htm.gif [10] av Torger Nilsen

Månens kvadratur

Månens kvadratur

Kvadraturen til månen som du ser på figuren til høyre, har vært kjent i snart 2500 år. Det er Hippokrates fra Chios (ca. 430 fkr) som har fått navnet sitt knyttet til konstruksjonen av denne månens kvadratur. Du kan lese litt mer om ham her: [11].

Ved å gå inn på det neste dynamiske arbeidsarket, vil du lære hvordan Hipookrates viste at Månen på figuren har samme areal som \triangle\,AOC. Dette bør være nok til at du deretter selv kan konstruere månens kvadratur:

  • Htm.gif [12] av Torger Nilsen

Andre kvadraturer

Det å finne kvadraturen til flatestykker er altså noe som mange matematikere har beskjeftiget seg med i årenes løp. Den figuren som voldte mest bry, var imidlertid sirkelen. Verken i Antikken eller senere klarte noen å utføre en tilfredsstillende konstruksjon av sirkelens kvadratur. I 1882 kom forklaringen på dette da den tyske matematikeren Carl Louis Ferdinand Lindemann (1852-1939),[13] indirekte viste at dette var umulig, [14].

Kilder

Stoffet i denne artikkelen bygger i hovedsak på

  • William Dunham: Journey througu Genius, PENGUIN, 1990 




Tilbake til den norske hovedsiden
Retrieved from "http://www.geogebra.org/en/wiki/index.php/Rektangelets_kvadratur_og_andre_kvadraturer"