GeoGebra

Regneoperasjoner med passer og linjal

1 Innledning
2 Litt mengdelære
3 Addisjon ved konstruksjon
4 Likeformede trekanter
5 Divisjon ved konstruksjon
6 Multiplikasjon ved konstruksjon
7 Å finne kvadratrøtter ved konstruksjon
8 Kvadratroten til et produkt
9 Kilder

Innledning

Fra de tidligste sivilasjonene har menneskene hatt behov for matematikk i en eller annen form. Den enkleste formen for matematikk er å telle. De tallene som vi da bruker, kalles gjerne for de naturlige tall, $\mathbb{N}$ . De naturlige tallene ble nyttige og nødvendige når en skulle beskrive for eksempel størrelsen av saueflokken eller høstens kornavling. Ganske raskt lærte en at de kunne brukes til å addere, subtrahere, multiplisere og dividere. I dag kaller vi dette de de fire regningsartene. Denne delen av matematikken kalles ofte aritmetikken.

Når geometrien oppsto, kan være vanskelig å fastslå. I alle fall ble det behov for geometri da en begynte å måle landarealer. Det at Nilen gikk over sine bredder hvert år, var en av de naturlige årsakene til at Egypterne utviklet og lærte seg denne delen av matematikken.

Aritmetikken og geometrien har fulgt hverandre opp igjennom matematikkhistorien. På tross av store forskjeller har det alltid vært en nær sammenheng, og det er denne sammenhengen du vil lære noe når du arbeider deg gjennom denne siden.

[edit]

Litt mengdelære

Bruken av de fire regningsartene førte til at forståelsen for tallene økte. På slutten av 1800-tallet oppsto en ny retning i matematikken som har fått navnet mengdelæren. Vi skal se hvordan de fire regningsartene kan brukes til gruppere tallene i ulike mengder.

Addisjon og multiplikasjon av naturlige tall gir oss naturlige tall. En subtraksjon kan gi et naturlig tall til svar; eksempelvis er $3\,-\,2=1$ , men subtraksjon kan også gi noe annet. $2\,-\,3$ er ikke et naturlig tall og for at dette skulle kunne forstås, trenges en annen type tall. Det ble løst ved å innføre det vi i dag kaller de hele tall, $\mathbb{Z}$ . Med de hele tallene gir subtraksjonen ovenfor mening, $2\,-\,3=-1$ .

Addisjon og multiplikasjon av hele tall gir oss hele tall, og divisjon kan også gi oss hele tall som i divisjonen $4\,:\,2=2$ , men divisjon kan også gi oss noe annet, for eksempel $2\,:\,4$ . For å løse dette trenges igjen en ny type tall; det vi kaller brøker. Alle naturlige tall, hele tall og brøker samler vi i en stor mengde som vi kaller de rasjonale tall, $\mathbb{Q}$ .

Ikke bare finnes det uendelige mange tall når vi teller. Når vi har brøker, finnes uendelig mange tall mellom eksempelvis 1 og 2. En skulle tro at dette var alt en trengte, og lenge trodde en det, men dag oppdaget et lyst hode at $\sqrt{2}$ ikke var en brøk. (Beviset for dette vil du lære hvis du begynner med faget R2). Dermed hadde en funnet det første tallet som ikke var en brøk, altså et irrasjonalt tall. Tar vi med de irrasjonale tallene sammen med de andre tallene som vi allerede har nevnt, får vi en mengde som vi kaller de reelle tallene, $\mathbb{R}$ . Her slutter vi vår lille mengdelære, men svært, svært mye kan enda sies og læres om dette.

Vi skal se hvordan geometriske konstruksjoner kan kaste lys både over mengdelæren og de aritmetiske operasjonene som vi nå har berørt.

[edit]

Addisjon ved konstruksjon

Det kan være svært nyttig å arbeide med addisjon knyttet til tallinjen. Hva er negative tall og hva er positive tall? Hva skjer geometrisk når legger to tall sammen. Slik spørsmål blir besvart eller må du svare på når du åpner det dynamiske arbeidsarket som nå følger.

[[1]] av Torger Nilsen.

[edit]

Likeformede trekanter

$\triangle ABC$ og $\triangle ADE$ er likeformede.

I fortsettelsen vil likeformede trekanter spille en viktig rolle. Vi gir derfor mulighet til en kort repetisjon av dette emnet for de som føler seg usikre på stoffet. Da er det bare å åpne den neste pdf-filen:

[2] av Torger Nilsen

Dette emnet er også grundig berørt i lærebøker for 1T og 1P. Hvis stoffet fortsatt er uklart, kan en derfor også slå opp i en slik bok for å skaffe seg mer erfaring. Å forstå dette er svært viktig.

[edit]

Divisjon ved konstruksjon

Når du går inn i det neste dynamiske arbeidsarket, vil det å sammenligne likeformede trekanter være nøkkelen til å forstå det du observerer. Hvis du ikke skjønner det som skjer, er det bare å ta et trinn tilbake å repetere hva som gjelder for likeformede trekanter.

[[3]] av Torger Nilsen.

[edit]

Multiplikasjon ved konstruksjon

Forsto du hvorfor forrige konstruksjon gav en divisjon, vil du helt sikkert forstå hvorfor den konstruksjonen du finner i det neste dynamiske arbeidsark gir en multiplikasjon.

[[4]] av Torger Nilsen.

[edit]

Å finne kvadratrøtter ved konstruksjon

Til nå har vi bare arbeidet med rasjonale tall, altså tall som kan uttrykkes som en brøk. Det er imidlertid også mulig å konstruere irrasjonale tall. Som vi var inne på ovenfor, er altså $\sqrt{2}$ eksempel på et slikt tall. Åpner du neste dynamiske arbeidsark, vil du finne en konstruksjon som vi påstår kan regne ut kvadratrøtter. Du kan jo undersøke om du er enig?