Ptolemaios setning
Contents |
Innledning
Vi skal i dette opplegget arbeide med Ptolemaios setning. Denne setningen har vært kjent helt siden antikken, og er dermed en viktig del av det vi oppfatter som den klassiske geometrien. Setningen er godt kjent og brukt rundt om i verden, men i Norge synes setningen å være lite kjent. Dette opplegget er et lite bidrag for å bøte på dette.
Vi skal først bli kjent med setningen. Deretter skal vi erfare hvordan setningen har mange, ganske overraskende anvendelser. Vi begynner med geometri, men kommer forholdsvis raskt over til trigonometri. Stoffet vil være relevant for lærreplanmålene i både R1 og R2.
Hva er Ptolemaios setning?
Du skal nå lage i konstruksjon i GeoGebra som forhåpentlig viser deg hva Ptolemaios setning går ut på. Følg altså instruksjonene som du finner i følgende pdf-fil:
-
[1] av Torger Nilsen
Sjekk gjerne din egen konstruksjon mot denne ggb-filen:
-
[2] av Torger Nilsen
Setningen har flere utforminger. Vi vil i fortsettelsen bruke formulering som finnes i Store norske leksikon. Når du åpner neste htm-fil, vil du finne denne. Det finnes mange bevis av setningen. I denne filen blir du også ledet gjennom et av de mest kjente bevisene.
-
[3] av Torger Nilsen
Bevis av Pytagoras setning
Det finnes noe sånt som 200 mer eller mindre forskjellige bevis av Pytagoras setning. Vi skal arbeide oss i gjennom ett av dem der vi bruker Ptolemaios setning.
Ptolemaios setning er, som vi nå vet, knyttet til firkanter innskrevet i en sirkel. Pytagoras setning derimot forteller noe om sammenhengen mellom sidene i et rettvinklet trekant. Skal vi kunne bruke Ptolemaios setning, må vi derfor ved konstruksjon komme oss fra en rettvinklet trekant og til en firkant innskrevet i en sirkel. Dette er det følgende html-fil handler om:
- [4] av Torger Nilsen
Det gyldne snitt og pentagonet
I både kunst og arkitektur har det gyldne snitt har stor betydning opp i gjennom historien. I dag lærer elevene både i grunnskolen og videregående skole om dette eiendommelig forholdet som viser seg i så vidt forskjellige sammenhenger. Som vi skal se i denne html-filen er det en slik sammenheng mellom Pentagonet og det gyldne snitt:
- [5] av Torger Nilsen
Sumformelen for sinus
I R2 er sumformelen
ett av emnene som skal beherskes. I de fleste læreverkene blir denne formelen bevist ved bruk av vektorregning. Vi skal nå se hvordan Ptolemaios setning kan gi oss det samme resultatet. Før vi kommet så langt, trenger vi et par hjelpesetninger.
Hjelpesetning 1
Vi skal nå utføre flere konstruksjoner i GeoGebra. Felles for alle disse konstruksjoner er at vi trenger sirkler hvor diameteren han lengdre lik 1. Etter hvert vil du nok skjønne hvorfor. Følg instruksjonen i den neste pdf-filen.
- [6] av Torger Nilsen
Sammenlign gjerne din konstruksjon med denne ggb-filen:
- [7] av Torger Nilsen
Hjelpesetning 2
Vi skal nå gjøre en ny erfaring med trekanter som er innskrevet i en sirkel med diameter lik 1. Følg derfor instruksjnene i neste pdf-fil:
- [8] av Torger Nilsen
Igjen kan du gjerne sammenligne din konstruksjon med en annen ggb-fil:
- [9] av Torger Nilsen
Sinus til en sum
Nå kan vi høste resultatet av arbeidet. Som du vil se i neste pdf-fil, er det ikke mer som skal til for at sumformelen for sinus kan ramle ut. Hvorfor skal vi bruke vektorregning når vi heller kan gjøre det på denne måten?
- [10] av Torger Nilsen
Hvis du har hatt problemer med å få til konstruksjonen, kan du sammenligne med konstruksjonen i denne ggb-filen:
- [11] av Torger Nilsen
Sinus til en differanse
På tilsvarende måte kan vi vise at
,
men dette utfordres du til å klare på egenhånd. Det gjelder nå å lage et litt annerledes konstruksjon.
Kilder
Det er tatt stoff fra flere kilder i utarbeidelsen av dette stoffet, men viktigst har vært:
Tilbake til den norske hovedsiden
