GeoGebra

Numerisk løsning av differensialligninger

Jump to: navigation, search

Contents

Innnledning

Differensialligningene er av de delene av matematikken som har størst anvendelse og disse ligningene dukker derfor opp i mange sammenhenger. De klassene av differensialligninger som vi møter i videregående skole, er stort sett ganske snille og samarbeidsvillige og lar seg løse uten altfor mye strev. Dette kan lede en å tro at slik er det alltid, men dette er en stor villfarelse. Mange, mange differensialligninger lar seg ikke løse algebraisk, og skal vi forstå hvordan de oppfører seg, må vi anvende det vi kaller numerisike metoder.

Å løse en differensialligning numerisk kan vi forenklet si går ut på å bruke våre matematiske kunnskaper om funksjoner til å regne oss fram til punkter som ligger på den løsningen vi er ute etter.

I arbeidet med dette stoffet tar vi utgangpunkt i differensialligningen


y'=x \cdot y\qquad y(0)=1.

Denne ligningen lar seg lett løse algebraisk, og en kan da spørre hvorfor vi så skal løse den numerisk. Vi velger en differsialligning med kjent løsning fordi vi da vil kunne sammenligne de numerisk løsningene med den eksakte løsningen. Dermed kan vi også lettere få en bilde av hvor gode de numerisk løsningen er. Den eksakte løsningen er

y(x)=e^{\frac{x^2}{2}}.

Eulers metode

Metodens hovedidé

Ideen bak Eulers metode for løsning av differensialligninger er å finne i uttrykket

y'=x\cdot y

som kan omskrives til en funksjon eller formel i to variable:

f(x,y)=x\cdot y .

I ethvert punkt

A=\left(x(A) , y(A)\right)

kan vi så finne den deriverte til kurven gjennom punktet ved å sette x(A) og y(A) inn i denne formelen. Med x(A) og y(A) mener vi henholdsvis 1. koordinaten og 2. koordinaten i punktet A. Vi bruker en noe uvanlig notasjon fordi dette samsvarer med kommandoene i GeoGebra.

Ettpunktsformelen gir så ligningen til tangenten y til kurven gjennom dette punktet:

y-y(A)=f\left(x(A),y(A)\right)\cdot \left(x-x(A)\right).

Neste punkt B finner vi langs denne tangenten ved at vi forflytter lengde h i positiv retning langs x-aksen. Koordinatene til punktet B får vi derfor ved rekursjonsformlene:

x(B)=x(A)+h\qquad y(B)=y(A)+h\cdot f(x(A),y(A)).

De neste punktene kommer så gjennom en helt tilsvarende algoritme. Tilslutt trekker vi linjestykkene:

AB\quad,BC, \quad \cdots\quad MN

som samlet gir en tilnærmet løsning av differensialligningen innenfor det aktuelle intervallet [x(A),x(N)].

Arbeid med metoden

Ved å følge instruksjonene i følgende pdf-fil vil du trinnvis lage deg punktene du trenger for å finne en tilnærmet løsning av differensialligninge innenfor intervallet [0,1]:

  • Pdf.gif [1] av Torger Nilsen

Sjekk gjerne din egen konstruksjon mot denne ggb-filen. Det er lagt inn avspillingsmulighet slik at du kan følge gangen i konstruksjonen som en animasjon:

  • Ggb.gif [2] av Torger Nilsen

I den nye versjonen av GeoGebra, finnes det et regneark som er godt egnet til Eulers metode. Denne versjonen er enda ikke ferdig, men vi kan likevel få tilgang på disse muligheten ved å bruke Geebra Pre-Release som Webstart:

Følg deretter instruksjonene i neste pdf_fil:

  • Pdf.gif [4] av Torger Nilsen

Du kan prøve å åpne neste ggb-fil for å sammenligne med din konstruksjon. I denne filen er intervallet [0,1] oppdelt i 10 intervaller. (Det kan skape problemer med å åpne denne filen på grunn av konflikt mellom forskjellige versjoner av GeoGebra)

  • Ggb.gif [5] av Torger Nilsen

Forbedret Eulers metode

Eulers metode er, som vi har sett verken effektiv eller nøyaktig. Det var derfor helt nødvendig å finne bedre numeriske metoder for løsning av differensialligninger. Uten særlig store justeringer, kan vi få en betydelig sterkere metode. I denne metoden bruker vi resultater fra Eulers metode. Den har da også fått navnet Forbedret Eulers metode.

Metodens hovedidé

Ved denne metoden benytter vi oss altså av punktene som vi allerede har utviklet ved Eulers metode. Dette kan du studere nærmere ved å åpne følgende dynamiske arbeidsark:

  • Htm.gif [6] av Torger Nilsen

Vi har tilsvarende rekursjonsligninger som ved Eulers metode. Disse er noe mer omfattende, men er likevel ikke altfor vanskelig å forstå forutsatt at en har skaffet seg innsikt i metodens hovedidé.

x(F)=x(A)+h\qquad y(F)=y(A)+ \frac{h}{2}\cdot \left[f(x(F),y(F))+f(x+h,y(A)+h\cdot f(x(A),y(A))\right]

Hvis dette skaper problemer, kan en å gå tilbake til dette uttrykket etter å ha arbeidet noe med metoden først.

Arbeid med metoden

Vi tar utgangspunkt i det vi allerede har gjort, og begynner med filen vi laget under arbeidet med Eulers metode. Denne er så lett modifisert. Denne kan lastes ned ved i trykke på ikonet under for ggb-filen. Pdf-filen som du også kan laste ned gir instruksjoner om hvordan du skal arbeide videre. Last derfor opp følgende både ggb-filen og pdf-filen:

  • Ggb.gif [7] forbedreteuler1.ggb av Torger Nilsen


  • Pdf.gif [8] av Torger Nilsen


Sammenlign gjerne din egen konstruksjon med neste ggb-fil:

  • Ggb.gif [9] forbedreteuler.ggb av Torger Nilsen

Regnearkfunksjonen i den nye versjonen av GeoGebra gir i forhold til Forbedret Eulers metode en del muligheter som er verd å utforske. Det kan du gjøre ved å åpen neste pdf-fil:


  • Pdf.gif [10] av Torger Nilsen

Sammenlign gjerne med den ggb-filen som følger. Velg Vis--Regneark, så vil du også se verdiene som ligger i regnearket. Observer hvordan både punktene og verdiene i regnearket forandres når du drar i glideren h.

  • Ggb.gif [11] forbedreteuler1.ggb av Torger Nilsen



Tilbake til den norske hovedsiden

Retrieved from "http://www.geogebra.org/en/wiki/index.php/Numerisk_l%C3%B8sning_av_differensialligninger"