Leçon3

Contents 1 Exemple 3: Dérivée et tangente d'une fonction 1.1 Version 1: Le point est sur la courbe représentative de la fonction 1.1.1 Quelques astuces 1.2 Version 2: Point en x = a 1.2.1 Quelques astuces

Exemple 3: Dérivée et tangente d'une fonction

Objectif : Avec GeoGebra construire la courbe représentative de la fonction sinus, sa dérivée et sa tangente en un point ainsi que le triangle illustrant la pente.

Fichier source

Version 1: Le point est sur la courbe représentative de la fonction

	Tapez la fonction f(x) = sin(x) dans le champ de saisie et appuyez sur Entrée.
	Choisissez le mode “Nouveau point“ et cliquez sur la courbe représentative de la fonction f. Cela crée un point A sur la courbe représentative de f.
	Ensuite choisissez le mode “Tangentes“ et cliquez sur le point A et sur la courbe représentative de la fonction f. Renommez la tangente t (clic droit de la souris, “Renommer”).
	Tapez la commande s = Pente[t].
	Choisissez le mode “Déplacer“ et déplacez A avec la souris et observez le mouvement de la tangente
	Tapez B = (x(A), s) et activez la trace de ce point (cliquez sur B avec le bouton droit et choisissez Trace activée).
	Choisissez le mode “Déplacer“ et déplacez A avec la souris – B laissera une trace.
	Tapez la commande Dérivée[f].

Quelques astuces

• Insérez une fonction différente, par exemple f(x) = x³ - 2x² dans le champ de saisie ; immédiatement, sa dérivée et sa tangente vont apparaître.
• Choisissez le mode “Déplacer“ et déplacez la courbe à l'aide de la souris. Observez la modification des équations de la fonction et de sa dérivée.

Version 2: Point en x = a

Nous allons faire une autre version de la dernière construction. Donc, choisissez d’abord “Fichier – Nouveau” pour ouvrir une nouvelle feuille de travail. Ensuite, saisissez les commandes suivantes dans le champ de saisie en validant chaque ligne par Entrée.

f(x) = sin(x)
a = 2
T = (a, f(a))
t = Tangente[a, f]
s = Pente[t]
B = (x(T), s)
Dérivée[f]

Choisissez le mode “Déplacer“ et cliquez sur le nombre a.

Vous pouvez le modifier en pressant les touches flèches.

En même temps, le point T et la tangente vont se déplacer le long de la courbe représentative de la fonction f.

Curseurs : Vous pouvez aussi modifier le nombre a en utilisant un curseur : clic droit sur a dans la fenêtre algèbre et choisissez “Afficher l’objet”.

Astuce : les curseurs et les touches flèches sont très utiles pour examiner des paramètres, par exemple p et q dans l’équation du second degré y = x² + p x + q.

Tangente sans la commande fournie

GeoGebra est capable de travailler avec des vecteurs et aussi des représentations paramétriques de droites. Donc il est possible de construire une tangente t sans la commande Tangente[].

Pour essayer cela, supprimez d’abord la tangente de votre construction en cliquant dessus avec le bouton droit de la souris et en choisissant “Effacer”.

Saisissez ensuite les commandes suivantes :

v = (1, f'(a))
t: X = T + r v

v est un vecteur directeur de la tangente t. A la place de r, vous pouvez aussi utiliser n’importe quelle autre lettre comme paramètre.

Quelques astuces

• Il y a une possibilité supplémentaire pour construire la tangente à l’aide du vecteur directeur : t = Droite[T, v].
• Essayez aussi la commande Intégrale[f]
• Davantage d’astuces concernant les commandes de GeoGebra peuvent être trouvées dans le “Aide“, section “Saisie numérique – commandes“. Le fichier (en pdf) d’Aide GeoGebra peut aussi être téléchargé depuis www.geogebra.org.