GeoGebra

LaTeX

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LATEX   quel étrange mot à l'étrange syntaxe. Voyons un peu à quoi il sert, et plus précisément en mathématiques. LATEX   est à la fois un langage et un logiciel. Son but premier est de séparer le fond de la forme. Il est très répandu dans le domaine scientifique car il permet la génération de documents très longs (thèses ou livres). Il permet entre autres de générer un affichage complexe de formules mathématiques à partir d'une syntaxe relativement simple (l'écriture de matrices ou de systèmes par exemple doit se faire rigoureusement pour ne pas perdre son temps à la fin en recherchant les erreurs).

Contents

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LaTeX et GeoGebra

Pourquoi GeoGebra intègre-t-il une implémentation LATEX   ? Tout simplement pour permettre d'afficher les symboles mathématiques qu'il serait difficile d'écrire sans un langage adapté. Et pourquoi créer un nouveau langage quand il en existe déjà un stable et particulièrement puissant ?

L'utilisation de LATEX   dans GeoGebra se fait en cochant la case "formule LaTeX" en bas des zones de texte. On dispose alors de symboles proposés qui permette de l'utiliser sans connaître forcément ce langage.

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Quelques exemples de formules

Voici quelques exemples de formules que GeoGebra permet d'utiliser. En comparaison à un implémentation LATEX   complète, cela se résume à très peu de choses mais qui permettent cependant d'utiliser les symboles dont doit avoir besoin un utilisateur de GeoGebra (qui n'est pas vraiment le meilleur choix quand on travaille avec des matrices par exemple).

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Racines

  • \sqrt{n}
    • \sqrt{n}
  • \sqrt[m]{n}
    • \sqrt[m]{n}
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Fractions

  • \frac{n}{d}
    • \frac{n}{d}
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Vecteurs

  • \vec{v}
    • \vec{v}
  • {a \choose b}
    • {a \choose b}
  • \vec{AB}
    • \vec{AB}
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Divers

  • ax^2 + bx + c=0
    • \ ax^2 + bx + c=0
  • x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}
    • x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}
  • \int_0^1 \frac{1}{\sqrt{-\ln x}} \; \mathrm dx
    • \int_0^1 \frac{1}{\sqrt{-\ln x}} \; \mathrm dx\,
  • \leq \geq \neq
    • \leq \; \geq \; \neq
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LaTeX et le Wiki

Sur le Wiki, les formules LATEX   sont à écrire entre les balises <math> ... </math> (voir le bouton \sqrt{n} dans l'éditeur). Ainsi on peut facilement écrire des formules complexes utiles en mathématiques. Je vous invite à voir le lien en bas de page sur Wikipedia qui montre une grande quantité de formules utilisables sur le Wiki. Vous pouvez aussi regarder la partie suivante avec des exemples plus poussés non utilisables dans GeoGebra.


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LaTeX, juste LaTeX

LATEX   ne se limite pas à l'écriture de quelques formules. Voici un exemple de LATEX  , un devoir noté sur 2h (et sa génération en PDF) : 

\documentclass{report}
\usepackage[a4paper, top=3cm, bottom=3cm, left=1.5cm, right=1.5cm]{geometry}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[french]{babel}
\usepackage{amsmath} % pour des trucs de maths (dont l'environnement "align")
\usepackage{amsfonts} % pour les écritures spéciales de math : \mathrm, \mathbb, \mathcal
%\usepackage[table]{xcolor} % pour la couleur, tableaux compris

\title{Maths - Set Theory \\ TP}
\author{\bsc{Sardem FF7}}
\date{}

\begin{document}
   \maketitle
   \section*{Question 1}
      Soit $P~: \forall ( x~; y ) \in \mathbb R^2, \exists z \in \mathbb R^+ / x y \geq 0 \Rightarrow x z = y$
      \\ Donc $\bar P~: \exists ( x~; y ) \in \mathbb R^2 / \forall z \in \mathbb R^+, x y \geq 0 \land x z \neq y$
   
   \section*{Question 2}
      Soient $A = \{ - 1~; 0~; 1 \}$ et $B = \{ 0~; 2 \}$.
      \\ $B \times A = \{ ( 0~; - 1 )~; ( 0~; 0 )~; ( 0~; 1 )~; ( 2~; - 1 )~; ( 2~; 0 )~; ( 2~; 1 ) \}$
   
   \section*{Question 3}
      Soient $f$ et $g$ deux applications de $\mathbb N$ dans $\mathbb N$ telles que~:
      $$f(n) = n + 2 \qquad\qquad g(n) = n^2$$
      
      \paragraph*{Expression algébrique de $g \circ f$~:}
         $g \circ f = g(f(n)) = g( n + 2 ) = ( n + 2 )^2 = n^2 + 4 n + 4$
      
      \paragraph*{Expression algébrique de $f \circ g$~:}
         $f \circ g = f(g(n)) = f( n^2 ) = n^2 + 2$
   
   \section*{Question 4}
      Soit l'ensemble $E = \{ x_1~; x_2~; x_3 \}$ et $f$ l'application de $E$ dans $E$ définie par~:
      \\ $f(x_1) = x_2
      \\ f(x_2) = x_3
      \\ f(x_3) = x_2$
      
      \paragraph*{a) Antécédents~:}\ 
         \\ $x_1$ n'a aucun antécédent par $f$.
         \\ $x_2$ a deux antécédents par $f$~: $x_1$ et $x_3$.
         \\ $x_3$ a un antécédent par $f$~: $x_2$.
      
      \paragraph*{b) Injectivité~:}
         $f$ n'est pas injective car $x_2$ a deux antécédents par $f$.
      
      \paragraph*{c) Surjectivité~:}
         $f$ n'est pas surjective car $x_1$ n'a pas d'antécédent par $f$
   
   \section*{Question 5}
      Soit la relation binaire $\mathcal R$ telle que~:
      \\ $\forall ( x~; y ) \in \mathbb R^2$, $x \mathcal R y \Leftrightarrow \exists n \in \mathbb Z / y = n + x$
      
      \paragraph*{Propriétés~:}
         \subparagraph*{Réflexivité~:}\ 
            \\ $x \mathcal R x \Leftrightarrow \exists n \in \mathbb Z / x = n + x$ ce qui est vrai pour $n = 0$, donc $\mathcal R$ est réflexive.
         \subparagraph*{Symétrie~:}
            \begin{align*}
                  x \mathcal R y &\Rightarrow \exists n \in \mathbb Z / y = n + x
               \\   &\Rightarrow \exists n \in \mathbb Z / x = - n + y \qquad \mbox{ on pose $n_0 = - n$ }
               \\   &\Rightarrow \exists n \in \mathbb Z / x = n_0 + y
               \\   &\Rightarrow \exists n_0 \in \mathbb Z / x = n_0 + y
               \\   &\Rightarrow y \mathcal R x
            \end{align*}
            Donc $\mathcal R$ est symétrique.
         \subparagraph*{Transitivité~:}
            \begin{align*}
                  x \mathcal R y &\Rightarrow \exists n \in \mathbb Z / y = n + x
               \\   y \mathcal R z &\Rightarrow \exists n' \in \mathbb Z / z = n' + y
               \\   x \mathcal R y \land y \mathcal R z &\Rightarrow \exists ( n~; n' ) \in \mathbb Z^2 / z = n' + ( n + x )
                                                                                                       \qquad \mbox{ on pose $n_1 = n + n'$ }
               \\   &\Rightarrow \exists ( n~; n' ) \in \mathbb Z^2 / z = n_1 + x
               \\   &\Rightarrow \exists n_1 \in \mathbb Z / z = n_1 + x
               \\   &\Rightarrow x \mathcal R z
            \end{align*}
            Donc $\mathcal R$ est transitive.
      
      \paragraph*{Type~:}
         $\mathcal R$ est une relation binaire d'équivalence car elle est réflexive, symétrique et transitive.
   
   \section*{Question 6}
      Soient $( a~; b~; c~; d ) \in \mathbb Z$, $r \in \mathbb Q / r = \frac a b$ et $i$ un irrationnel.
      \\ Supposons que $r + i = \frac c d$~:
      \begin{align*}
            r + i &= \frac c d
         \\   i &= \frac c d - r
         \\   &= \frac c d - \frac a b
         \\   &= \frac { c b - d a } { d b }
      \end{align*}
      Or $( c b - a d ) \in \mathbb Z$ et $( d b ) \in \mathbb Z$. D'où $i$ est un rationnel, ce qui par hypothèse est absurde.
      \\ Donc $( r + i )$ est un irrationnel.
   
   \section*{Question 7}
      Considérons la formule suivante~:
      \begin{align*}
            a + \bar a b &= ( a + \bar a ) \cdot ( a + b )
         \\   &= 1 \cdot ( a + b )
         \\   &= a + b
      \end{align*}
   
   \section*{Question 8}
      Soit $f(a, b, c) = \bar a + b c$ une fonction booléenne.
      \paragraph*{a) b)}
         $\begin{array}{ | c | c | c || c || c | c | }
            \hline
            a   &   b   &   c   &   f(a, b, c)   &   m \mbox{(mintermes)}		&   M \mbox{(Maxtermes)}		\\
            \hline \hline &&&&&\\
            1   &   1   &   1   &      1   &   m_0 = a \cdot b \cdot c			&   M_7 = \bar a + \bar b + \bar c	\\
            1   &   1   &   0   &      0   &   m_1 = a \cdot b \cdot \bar c		&   M_6 = \bar a + \bar b + c		\\
            1   &   0   &   1   &      0   &   m_2 = a \cdot \bar b \cdot c		&   M_5 = \bar a + b + \bar c		\\
            1   &   0   &   0   &      0   &   m_3 = a \cdot \bar b \cdot \bar c	&   M_4 = \bar a + b + c		\\
            0   &   1   &   1   &      1   &   m_4 = \bar a \cdot b \cdot c		&   M_3 = a + \bar b + \bar c		\\
            0   &   1   &   0   &      1   &   m_5 = \bar a \cdot b \cdot \bar c	&   M_2 = a + \bar b + c		\\
            0   &   0   &   1   &      1   &   m_6 = \bar a \cdot \bar b \cdot c	&   M_1 = a + b + \bar c		\\
            0   &   0   &   0   &      1   &   m_7 = \bar a \cdot \bar b \cdot \bar c	&   M_0 = a + b + c			\\
            \hline
         \end{array}$
      
      \paragraph*{c) Formes canoniques de $f$~:}
         \subparagraph*{Forme canonique disjonctive~:}
            \begin{align*}
                  f_d(a, b, c) &= m_0 + m_4 + m_5 + m_6 + m_7
               \\   &= ( a \cdot b \cdot c ) + ( \bar a \cdot b \cdot c ) + ( \bar a \cdot b \cdot \bar c )
                                                                     + ( \bar a \cdot \bar b \cdot c ) + ( \bar a \cdot \bar b \cdot \bar c )
            \end{align*}
         \subparagraph*{Forme canonique conjonctive~:}
            \begin{align*}
                  f_c(a, b, c) &= M_6 \cdot M_5 \cdot M_4
               \\   &= ( \bar a + \bar b + c ) \cdot ( \bar a + b + \bar c ) \cdot ( \bar a + b + c )
            \end{align*}
   
\end{document}
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Pour aller plus loin (beaucoup plus loin)

Vous pouvez visiter de nombreux sites à propos de LATEX  . Car LATEX   est très puissant et pourra peut-être vous aider en dehors de GeoGebra.

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