GeoGebra

Løsning av andregradsligninger ved konstruksjon

Jump to: navigation, search

Contents

Innledning

I videregående skole blir ofte den generelle andregradsligningen presentert på formen

ax2 + bx + c = 0.

I hovedsak lærer elevene to forskjellige metoder for løsning av slike ligninger:

  • Algebraisk: Ved å bruke løsningsformelen

x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}

  • Geometrisk: Ved å tegne grafen til uttrykket inn i et koordinatsystem ved hjelp av en grafisk lommeregner og så lese av hvor grafen skjærer x-aksen.

Ved å arbeide deg i gjennom denne teksten, vil du oppdage at en både enkelt og raskt kan løse andregradsligninger ved bruk av passer og linjal. Vår passer og linjal vil være GeoGebra, et dynamisk program som slik vi bruker det, fungerer på samme måte som en virkelig passer og linjal.

Andregradsligninger kan i alle fall uttrykkes på to ekvivalente måter:

ax^2+bx+c=0\qquad\Leftrightarrow\qquad x^2+px+q=0, \qquad \textrm{hvor} \quad p=\frac{b}{a},\quad q=\frac{c}{a}.

For oss vil det være formålstjenlig å bruke den siste formen:

x2 + px + q = 0.

To punkt, ett til og en sirkel

Det er ingen omfattende konstruksjon vi nå trenger. Følg derfor instruksjonene i følgende pdf-fil:

  • Pdf.gif [1] av Torger Nilsen

Du har nå forhåpentligvis tatt deg tid til å observere og vurdere hva som utspiller seg i konstruksjonen når du lar gliderne skape forandringer. Vi er klar til å ta et lite skritt videre. Hensikten med konstruksjonen vår blir ganske åpenbar. Åpne den neste pdf-filen:

  • Pdf.gif [2] av Torger Nilsen

Du kan gjerne sammenligne din egen konstruksjon med den du finner i følgende ggb-fil:

  • Ggb.gif [3] av Torger Nilsen

Er dette virkelig riktig?

Er C og D virkelig løsninger av andregradligningen eller ser det bare slik ut?

Som figuren på høyre side viser, ser det ut som C og D virkelig er løsninger av andregradsligningen x2 + px + q = 0. Når vi drar i gliderne, holder dette inntrykket seg. Vi kan likevel ikke være helt sikre selv om mye taler for at dette er riktig. Hvorfor?

Det er ikke altfor vanskelig å finne svar på dette:

  • Finn koordinatene til sentrum O i sirkelen uttrykt ved de størrelsene som du bruker i konstruksjonen.
  • Finn deretter lengden av radien.
  • Du vet nå nok til å kunne sette opp uttrykket for sirkelen
  • Nå er det bare detaljer igjen, men det må du klare selv.

Noe å tenke over?

I arbeidet med den første pdf-filen oppdaget du kanskje at sirkelen ikke krysset x-aksen hvis p2 < 4q. Hvorfor er det slik? Kan du forklare dette algebraisk?

Kilder

Stoffet i denne artikkelen bygger i hovedsak på

  • Benjamin Bold: Famous Problems of Geometry and How to Solve Them, Dover, 1969 



Tilbake til den norske hovedsiden
Retrieved from "http://www.geogebra.org/en/wiki/index.php/L%C3%B8sning_av_andregradsligninger_ved_konstruksjon"