Krivulje drugega reda - stožnice

From GeoGebraWiki

Jump to: navigation, search

so krivulje, ki jih dobimo kot geometrijsko sliko kvadratne enačbe z dvema neznankama Ax2 + Bxy + Cy2 + Dx + Ey + F = 0.

Ponavadi postavimo B=0.

Glede na različne odnose med koeficienti lahko dobimo

  • krožnico,
  • elipso,
  • hiperbolo,
  • parabolo,
  • in nekaj izrojenih primerov (dve premici, točka).


Contents

[edit]

Krožnica

je množica tistih točk v ravnini, ki so enako oddaljene (za polmer) od nekega središča.

Image:Kroznica.png

Če postavimo središče krožnice v koordinatno izhodišče in določimo za polmer r, ima krožnica enačbo x2 + y2 = r2. Na delovnem listu krožnica lahko opazujemo spreminjanje enačbe krožnice, če premikamo njeno središče (S) ali pa polmer (r). Enačba se izpisuje v obeh oblikah

v splošni x2 + y2 + ax + by = c

in tipični (x − p)2 + (y − q)2 = r2, iz katere preberemo koordinate središča (p,q) in polmer.

Potreben pogoj, da enačba drugega reda določa krožnico je A=B.

Dve krožnici imata lahko različne medsebojne lege. Raziskujemo jih lahko tukaj .

[edit]

Elipsa

je množica točk, za katere je vsota razdalj do dveh fiksnih točk v ravnini (gorišč) konstantna. 

Image:Elipsa.png

Njena enačba v središčni legi se glasi \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1. a in b sta polosi elipse. V tem primeru sta gorišči v tolkah F(±e,0), kjer velja e2 = a2 − b2.

Na spletni strani so trije delovni listi: - na prvem lahko premikamo točko po elipsi in opazujemo spreminjanje razdalj do gorišč, - na drugem je konstruiramo elipso s presečišči krožnic (vrtnarsko), - na tretjem pa je prikazana konstrukcija s pomočjo dveh koncentričnih krogov.

Potreben pogoj, da enačba drugega reda določa elipso je enak predznak pri x2 in y2.

Elipsa, ki ima središče v točki (p,q) ima enačbo \frac{(x-p)^{2}}{a^{2}}+\frac{(y-q)^{2}}{b^{2}}=1

[edit]

Hiperbola

je množica točk, za katere je razlika razdalj do dveh fiksnih točk (gorišč) konstantna.

Image:Hiperbola.png

Hiperbola v središčni legi ima enačbo \frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=\pm 1. Od predznaka na desni strani je odvisno, ali bo realna os hiperbole vodoravna ali navpična.

Prva naloga na delovnem listu nam omogoča, da opazujemo spreminjanje oblike hiperbole, če spreminjamo velikosti in predznak desne strani enačbe. Druga naloga pa nam je v pomoč, če moramo konstruirati krivuljo (dve krožnici s konstantno razliko polmerov).

Hiperbola, ki ima središče v točki (p,q) ima enačbo \frac{(x-p)^{2}}{a^{2}}-\frac{(y-q)^{2}}{b^{2}}=1

Enačba drugega reda bo mogoče določala hiperbolo, če sta koeficenta ob x2 in y2 različnega predznaka.

[edit]

Parabola

Je množica točk, ki so enako oddaljene od dane premice (vodnice) in dane točke (gorišča).

Image:Parabola.png

Delovni list omogoča prikaz konstrukcije hiperbole, ki ima teme v koordinatnem izhodišču, njena os pa leži na abscisni osi. Njena enačba se glasi y2 = 2px

Pred konstrukcijo lahko poljubno nastavimo velikost parametra p.

Enačba drugega reda predstavlja parabolo, ko ima samo en kvadratni člen x2 ali y2.

Retrieved from "http://www.geogebra.org/en/wiki/index.php/Krivulje_drugega_reda_-_sto%C5%BEnice"
Personal tools