GeoGebra

GeoSpCommandes

GEOMETRIE SPHERIQUE : COMMANDES

Nous décrivons ci-dessous les différents objets et les commandes développées utilisables à partir des fichiers 3d.ggb et 3d-courbes.ggb (pour le tracé de courbes).

Un exemple est donné dans le fichier 3d-exemple.ggb.

1 Objets 3D et variables pour le tracé
- 1.1 Définir un objet 3D
- 1.2 Des "variables d'environnement"
2 Commandes

Objets 3D et variables pour le tracé

Définir un objet 3D

Les objets que l'on peut représenter sont :

     des points 3d, par une liste de trois nombres {x,y,z} 
     des vecteurs 3d, de la même manière
     des matrices 3x3, par une liste de trois vecteurs
     des droites 3d, par une liste {pt,vd} contenant un point et un vecteur directeur
     des plans, par une liste {pt,vn} contenant un point et un vecteur normal
     des cercles 3d, par une liste {pt,vn,r} contenant le centre, un vecteur normal et le rayon

Des "variables d'environnement"

Pour tracer les objets, nous utilisons une perspective suivant des angles $α p e r s p,β p e r s p$ regroupés dans une liste persp. Le plus simple est d'ouvrir le fichier 3d.ggb pour observer comment ça marche.

Afin de pouvoir créer des objets "libres" sur la sphère, nous avons créé une sorte de planisphère sur laquelle on peut créer des points libres, que nous affichons par la suite sur la sphère :

Les données de planisphère sont contenues dans une liste longlat dont on se sert ensuite pour créer les points 3D :

Ap=PointLongLat[Al,longlat]
Bp=PointLongLat[Bl,longlat]
Cp=PointLongLat[Cl,longlat]

On obtient dans la fenêtre algèbre :

 $A p = {0.95, - 0.04,0.32}$ 
...

On affiche les points sur la sphère :

A=AffPoint[Ap,persp]
B=AffPoint[Bp,persp]
C=AffPoint[Cp,persp]

Commandes

Voici donc expliquées (succintement) les commandes développées dans le fichier 3d.ggb. Le plus simple est de les essayer !

Tracé

Une fois les objets 3d définis, encore faut-il les tracer en 2d dans geogebra. Chacune des commandes se termine par la spécification de la liste persp utilisée pour le dessin en perspective.

Il manque le tracé d'un point 3d, qui est dans la section affichage (AffPoint).

Nous avons ajouté quelques commandes facilitant le tracé d'objets spécifique à la géométrie sphérique. (La commande TrDemiCercles permet par exemple de tracer un grand cercle de la sphère unité avec des pointillés pour la partie cachée.)

La commande ArcEllipse n'est pas à proprement parler une commande 3d, elle permet d'afficher un arc d'ellipse passant par les trois points 2d, dans l'ordre spécifié (ce qui évite les problèmes d'orientation).

Icône	Commande	Entrée	Sortie	Description
	TrDroite	droite 3d, persp	droite	affichage de la droite dans la perspective
	TrPlanPoint	plan,point 3d,persp	quadrilatère	affichage du plan dans la perspective
	TrCercle	cercle 3d,persp	ellipse	affichage de l'ellipse dans la perspective}
	TrDemiCercles	cercle 3d,persp	arc *2	affichage des demi-cercles avant/arrière
	TrGC	point 3d,point 3d,persp	ellipse	affichage du grand cercle passant par les deux points
	TrGCPetitArc	point 3d,point 3d,persp	arc	affichage du petit arc passant par les deux points
	TrGCGrandArc	point 3d,point 3d,persp	arc	affichage du grand arc passant par les deux points
	ArcEllipse	point,point,point,ellipse	arc	affichage d'un arc d'ellipse

Affichage de points

Ces commandes proposent, plutôt que de tracer l'objet 2d correspondant réellement à l'objet 3d, d'afficher des "points de contrôle". Par exemple, on affiche deux points 2d "contrôlant" une droite. Pour un cercle 3d, puisqu'il est représenté en 2d par une ellipse, la commande affiche 5 points de contrôle.

Icône	Commande	Entrée	Sortie	Description
	AffPoint	point 3d, persp	point	affichage du point dans la perspective
	AffDroite	droite 3d, persp	point *2	affichage de la droite par deux points
	AffPlanPoint	plan, point 3d, persp	point *4	affichage du plan par quatre points
	AffCercle	cercle 3d, persp	point *5	affichage du cercle par cinq points

Constructions

Il s'agit ici de commandes permettant de construire de nouveaux objets 3d à partir de ceux existant, notamment des intersections, la construction d'un cercle 3d passant par trois points, et des commandes pour la géométrie sphérique.

Icône	Commande	Entrée	Sortie	Description
	InterDeuxPlans	plan, plan	droite 3d	droite intersection de deux plans
	InterDroitePlan	droite 3d, plan	point 3d	point d'intersection droite-plan
	InterPPP	plan, plan, plan	point 3d	point d'intersection de 3 plans
	RotDroitePoint	droite 3d, point 3d,angle	point 3d	rotation du point autour de la droite
	PlanMed	point 3d, point 3d	plan	plan médian
	CTroisPoints	point 3d, point 3d, point 3d	cercle 3d	cercle passant par les trois points
	CDroitePoint	droite 3d, point 3d	cercle 3d	cercle par rotation du point autour de la droite
	GCDeuxPoints	point 3d, point 3d	cercle 3d	grand cercle passant par les deux points
	GCPerp	point 3d, point 3d, point 3d	cercle 3d	grand cercle perpendiculaire

Interface

Trois commandes pour utiliser l'interface geogebra.

PointSurPlan permet de placer un point 2d sur le dessin de la fenêtre graphique de geogebra, et de l'interpréter comme un point 3d, en spécifiant un plan auquel il est censé appartenir.

PointLongLat permet d'interpréter un point 2d sur le planisphère en bas à gauche de la fenêtre comme un point de la sphère unité.

PlanEcran retourne le plan parallèle à l'écran et passant par le point 3d spécifié.

Icône	Commande	Entrée	Sortie	Description
	PointSurPlan	point,plan, persp	point 3d	interprète un point de l'écran
	PointLongLat	point,longlat	point 3d	interprète un point en longitude-latitude
	PlanEcran	point 3d, persp	plan	plan parallèle à l'écran passant par le point

Angles

Des commandes utilisées pour illustrer les figures au niveau des angles (sphériques et plans).

Icône	Commande	Entrée	Sortie	Description
	VAng	vecteur 3d, vecteur 3d	angle	angle entre les vecteurs (non orienté)
	AngDiedre	point 3d, droite 3d, point 3d	angle	angle formé par le dièdre (orienté)
	AngTPoints	point 3d, point 3d, point 3d	angle	angle formé par les 3 points (orienté par l'origine)
	TrAng	droite 3d, point 3d,angle,persp	arc	trace l'angle autour de la droite (orienté)
	TrAngDroit	point 3d, point 3d, point 3d,taille,persp	segment *2	trace l'angle "droit" plan
	TrSphAng	point 3d, point 3d, point 3d,taille,persp	arc	trace l'angle sphérique (orienté)
	TrSphAngDroit	point 3d, point 3d, point 3d,taille,persp	arc *2	trace l'angle "droit" sphérique (orienté)

Tracé de courbes

Deux commandes pour tracer des courbes dans l'espace. Ces commandes sont contenues dans le fichier 3d-courbes.ggb. Voir les exemples.

Icône	Commande	Entrée	Sortie	Description
	TrCourbe	fonctionX, fonctionY, fonctionZ, tmin, tmax, persp	Courbe	trace la courbe paramétrée en X(t), Y(t), Z(t)
	TrSphCourbe	fonctionLongitude, fonctionLatitude, tmin, tmax, persp	Courbe	trace sur la sphère unité la courbe paramétrée en Longitude(t), Latitude(t)

Calcul vectoriel

Les commandes précédentes sont basées sur du calcul vectoriel dans l'espace. Voici donc quelques commandes permettant ça :

Icône	Commande	Entrée	Sortie	Description
	VLongueur	vecteur 3d	nombre	norme 1 du vecteur
	VNormal	vecteur 3d	vecteur 3d	vecteur normalisé
	VReelProd	nombre,vecteur 3d	vecteur 3d	produit réel par vecteur
	VAdd	vecteur 3d, vecteur 3d	vecteur 3d	somme vectorielle
	VProdVec	vecteur 3d, vecteur 3d	vecteur 3d	produit vectoriel
	VProdScal	vecteur 3d, vecteur 3d	nombre	produit scalaire
	VPointPoint	point 3d, point 3d	vecteur 3d	vecteur bipoint
	DistPointPoint	point 3d, point 3d	nombre	distance entre deux points
	MV	matrice, vecteur 3d	vecteur 3d	produit matrice vecteur
	detM	matrice	nombre	déterminant de la matrice
	MInv	matrice	matrice	matrice inverse