GeoSpCommandes

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GEOMETRIE SPHERIQUE : COMMANDES


Nous décrivons ci-dessous les différents objets et les commandes développées utilisables à partir des fichiers 3d.ggb et 3d-courbes.ggb (pour le tracé de courbes).

Image:3d-fenetre-principale.png

Un exemple est donné dans le fichier 3d-exemple.ggb.

Contents

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Objets 3D et variables pour le tracé

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Définir un objet 3D

Les objets que l'on peut représenter sont : 

     des points 3d, par une liste de trois nombres {x,y,z} 
     des vecteurs 3d, de la même manière
     des matrices 3x3, par une liste de trois vecteurs
     des droites 3d, par une liste {pt,vd} contenant un point et un vecteur directeur
     des plans, par une liste {pt,vn} contenant un point et un vecteur normal
     des cercles 3d, par une liste {pt,vn,r} contenant le centre, un vecteur normal et le rayon
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Des "variables d'environnement"

Pour tracer les objets, nous utilisons une perspective suivant des angles αpersp,βpersp regroupés dans une liste persp. Le plus simple est d'ouvrir le fichier 3d.ggb pour observer comment ça marche.

Afin de pouvoir créer des objets "libres" sur la sphère, nous avons créé une sorte de planisphère sur laquelle on peut créer des points libres, que nous affichons par la suite sur la sphère :

Image:Exemple_longlat.jpg

Les données de planisphère sont contenues dans une liste longlat dont on se sert ensuite pour créer les points 3D : 

Ap=PointLongLat[Al,longlat]
Bp=PointLongLat[Bl,longlat]
Cp=PointLongLat[Cl,longlat]

On obtient dans la fenêtre algèbre : 

Ap = {0.95, − 0.04,0.32}
...


On affiche les points sur la sphère : 

A=AffPoint[Ap,persp]
B=AffPoint[Bp,persp]
C=AffPoint[Cp,persp]

Image:3d-exemple-3points1.png

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Commandes

Voici donc expliquées (succintement) les commandes développées dans le fichier 3d.ggb. Le plus simple est de les essayer !


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Tracé

Une fois les objets 3d définis, encore faut-il les tracer en 2d dans geogebra. Chacune des commandes se termine par la spécification de la liste persp utilisée pour le dessin en perspective.

Il manque le tracé d'un point 3d, qui est dans la section affichage (AffPoint).

Nous avons ajouté quelques commandes facilitant le tracé d'objets spécifique à la géométrie sphérique. (La commande TrDemiCercles permet par exemple de tracer un grand cercle de la sphère unité avec des pointillés pour la partie cachée.)

La commande ArcEllipse n'est pas à proprement parler une commande 3d, elle permet d'afficher un arc d'ellipse passant par les trois points 2d, dans l'ordre spécifié (ce qui évite les problèmes d'orientation).

Icône Commande Entrée Sortie Description
Image:TrDroite_petit.jpg TrDroite droite 3d, persp droite affichage de la droite dans la perspective
Image:TrPlanPoint_petit.jpg TrPlanPoint plan,point 3d,persp quadrilatère affichage du plan dans la perspective
Image:TrCercle_petit.jpg TrCercle cercle 3d,persp ellipse affichage de l'ellipse dans la perspective}
Image:TrDemiCercles_petit.jpg TrDemiCercles cercle 3d,persp arc *2 affichage des demi-cercles avant/arrière
Image:TrGC_petit.jpg TrGC point 3d,point 3d,persp ellipse affichage du grand cercle passant par les deux points
Image:TrGCPetitArc_petit.jpg TrGCPetitArc point 3d,point 3d,persp arc affichage du petit arc passant par les deux points
Image:TrGCGrandArc_petit.jpg TrGCGrandArc point 3d,point 3d,persp arc affichage du grand arc passant par les deux points
Image:ArcEllipse_petit.jpg ArcEllipse point,point,point,ellipse arc affichage d'un arc d'ellipse
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Affichage de points

Ces commandes proposent, plutôt que de tracer l'objet 2d correspondant réellement à l'objet 3d, d'afficher des "points de contrôle". Par exemple, on affiche deux points 2d "contrôlant" une droite. Pour un cercle 3d, puisqu'il est représenté en 2d par une ellipse, la commande affiche 5 points de contrôle.

Icône Commande Entrée Sortie Description
Image:AffPoint_petit.jpg AffPoint point 3d, persp point affichage du point dans la perspective
Image:AffDroite_petit.jpg AffDroite droite 3d, persp point *2 affichage de la droite par deux points
Image:AffPlanPoint_petit.jpg AffPlanPoint plan, point 3d, persp point *4 affichage du plan par quatre points
Image:AffCercle_petit.jpg AffCercle cercle 3d, persp point *5 affichage du cercle par cinq points
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Constructions

Il s'agit ici de commandes permettant de construire de nouveaux objets 3d à partir de ceux existant, notamment des intersections, la construction d'un cercle 3d passant par trois points, et des commandes pour la géométrie sphérique.

Icône Commande Entrée Sortie Description
Image:InterDeuxPlans_petit.jpg InterDeuxPlans plan, plan droite 3d droite intersection de deux plans
Image:InterDroitePlan_petit.jpg InterDroitePlan droite 3d, plan point 3d point d'intersection droite-plan
Image:InterPPP_petit.jpg InterPPP plan, plan, plan point 3d point d'intersection de 3 plans
Image:RotDroitePoint_petit.jpg RotDroitePoint droite 3d, point 3d,angle point 3d rotation du point autour de la droite
Image:PlanMed_petit.jpg PlanMed point 3d, point 3d plan plan médian
Image:CTroisPoints_petit.jpg CTroisPoints point 3d, point 3d, point 3d cercle 3d cercle passant par les trois points
Image:CDroitePoint_petit.jpg CDroitePoint droite 3d, point 3d cercle 3d cercle par rotation du point autour de la droite
Image:GCDeuxPoints_petit.jpg GCDeuxPoints point 3d, point 3d cercle 3d grand cercle passant par les deux points
Image:GCPerp_petit.jpg GCPerp point 3d, point 3d, point 3d cercle 3d grand cercle perpendiculaire
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Interface

Trois commandes pour utiliser l'interface geogebra.

PointSurPlan permet de placer un point 2d sur le dessin de la fenêtre graphique de geogebra, et de l'interpréter comme un point 3d, en spécifiant un plan auquel il est censé appartenir.

PointLongLat permet d'interpréter un point 2d sur le planisphère en bas à gauche de la fenêtre comme un point de la sphère unité.

PlanEcran retourne le plan parallèle à l'écran et passant par le point 3d spécifié.

Icône Commande Entrée Sortie Description
Image:PointSurPlan_petit.jpg PointSurPlan point,plan, persp point 3d interprète un point de l'écran
Image:PointLongLat_petit.jpg PointLongLat point,longlat point 3d interprète un point en longitude-latitude
Image:PlanEcran_petit.jpg PlanEcran point 3d, persp plan plan parallèle à l'écran passant par le point
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Angles

Des commandes utilisées pour illustrer les figures au niveau des angles (sphériques et plans).

Icône Commande Entrée Sortie Description
Image:VAng_petit.jpg VAng vecteur 3d, vecteur 3d angle angle entre les vecteurs (non orienté)
Image:AngDiedre_petit.jpg AngDiedre point 3d, droite 3d, point 3d angle angle formé par le dièdre (orienté)
Image:AngTPoints_petit.jpg AngTPoints point 3d, point 3d, point 3d angle angle formé par les 3 points (orienté par l'origine)
Image:TrAng_petit.jpg TrAng droite 3d, point 3d,angle,persp arc trace l'angle autour de la droite (orienté)
Image:TrAngDroit_petit.jpg TrAngDroit point 3d, point 3d, point 3d,taille,persp segment *2 trace l'angle "droit" plan
Image:TrSphAng_petit.jpg TrSphAng point 3d, point 3d, point 3d,taille,persp arc trace l'angle sphérique (orienté)
Image:TrSphAngDroit_petit.jpg TrSphAngDroit point 3d, point 3d, point 3d,taille,persp arc *2 trace l'angle "droit" sphérique (orienté)


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Tracé de courbes

Deux commandes pour tracer des courbes dans l'espace. Ces commandes sont contenues dans le fichier 3d-courbes.ggb. Voir les exemples.

Icône Commande Entrée Sortie Description
Image:TrCourbe_petit.png TrCourbe fonctionX, fonctionY, fonctionZ, tmin, tmax, persp Courbe trace la courbe paramétrée en X(t), Y(t), Z(t)
Image:TrSphCourbe_petit.png TrSphCourbe fonctionLongitude, fonctionLatitude, tmin, tmax, persp Courbe trace sur la sphère unité la courbe paramétrée en Longitude(t), Latitude(t)
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Calcul vectoriel

Les commandes précédentes sont basées sur du calcul vectoriel dans l'espace. Voici donc quelques commandes permettant ça :

Icône Commande Entrée Sortie Description
Image:VLongueur_petit.jpg VLongueur vecteur 3d nombre norme 1 du vecteur
Image:VNormal_petit.jpg VNormal vecteur 3d vecteur 3d vecteur normalisé
Image:VReelProd_petit.jpg VReelProd nombre,vecteur 3d vecteur 3d produit réel par vecteur
Image:VAdd_petit.jpg VAdd vecteur 3d, vecteur 3d vecteur 3d somme vectorielle
Image:VProdVec_petit.jpg VProdVec vecteur 3d, vecteur 3d vecteur 3d produit vectoriel
Image:VProdScal_petit.jpg VProdScal vecteur 3d, vecteur 3d nombre produit scalaire
Image:VPointPoint_petit.jpg VPointPoint point 3d, point 3d vecteur 3d vecteur bipoint
Image:PointPointDistance_petit.jpg DistPointPoint point 3d, point 3d nombre distance entre deux points
Image:MV_petit.jpg MV matrice, vecteur 3d vecteur 3d produit matrice vecteur
Image:detM_petit.jpg detM matrice nombre déterminant de la matrice
Image:MInv_petit.jpg MInv matrice matrice matrice inverse
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